Enunciado

31-48. Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

35. Parábola, vértice ( 2,3 ) , eixo vertical, passando em ( 1,5 )

Passo 1

Então pessoal, uma equação de parábola em seu formato geral, de acordo com a seção 10.5 do James, é dada da seguinte maneira:

x 2 = 4 p y

No qual seu foco é dado em ( 0 , p ) e sua diretriz é dada em y = - p . Um outro formato é obtido se fizermos a inversa dessa função, ou seja, refleti-la em torno da reta y = x . Se fizermos isso, o formato geral da equação de parábola ficará:

y 2 = 4 p x

No qual seu foco é dado em ( p , 0 ) e sua diretriz é dada em x = - p . No entant, essas equações só são válidas para quando o vértice está em ( 0,0 ) , pessoal! O enunciado nos informa que a parábola em questão tem vértice em ( 2,3 ) , então temos uma parábola deslocada. Para esse tipo de caso, as equações são:

x - x o 2 = 4 p ( y - y o )

Ou:

y - y o 2 = 4 p ( x - x o )

No qual x o e y o se referem ao ponto ( x o , y o ) no qual o vértice se encontra. Como a questão já nos diz, então temos que: x o = 2 e y o = 3 .

Passo 2

Ademais, outra coisa que o enunciado nos diz é que a parábola tem eixo vertical. Bom, se o eixo é vertical, então é o tipo de parábola que mais conhecemos:

x - x o 2 = 4 p y - y o

Mas po, não conseguiremos determinar quem é p com os dados que temos, mas conseguimos determinar a . Como assim, quem é esse a ? Na seção 10.5 do Stewart essa letra é definida como:

a = 1 4 p

Então:

p = 1 4 a

Se substituirmos p   na equação da nossa parábola, teremos:

a . x - x o 2 = ( y - y o )

O enunciado nos diz que a parábola passa pelo ponto ( 1,5 ) , então se substituirmos esse ponto e os valores de x o e y o , teremos:

a . 1 - 2 2 = ( 5 - 3 )

∴ a = 2

Dessa forma, a equação da parábola em questão será:

y - 3 = 2 . ( x - 2 ) ²

Resposta

y - 3 = 2 . ( x - 2 ) ²

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