Enunciado

11-16. Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico.

13. 4 x 2 + y 2 = 16

Passo 1

Então pessoal, inicialmente temos que escrever a equação da elipse que nos foi dada no formato padrão da equação da elipse, que é o seguinte:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1   o u x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

Se dividirmos a nossa equação por 16 , teremos:

4 x 2 16 + y 2 16 = 1 6 16

x 2 4 + y 2 16 = 1 ⇒ x 2 2 2 + y 2 4 2 = 1

No qual a = 4 e b = 2 . Agora sim escrevemos a nossa equação no formato padrão, show de bola!

Passo 2

Se observarmos a nossa equação, notaremos que b > 0 , não é mesmo? Nesse caso, segundo o Stewart na seção 10.5, temos que:

f o c o s : ( 0 , ± c )

v é r t i c e s : ( 0 , ± a )

Mas espera aí, como vamos descobrir c ? Aqui basta utilizarmos o teorema de Pitágoras mesmo, se liga:

a 2 = c 2 + b 2 ⇒ c 2 = a 2 - b ²

c 2 = 4 ² - 2 ²

c 2 = 12   ∴ c = ± 12

Agora que já temos os valores de c e de a , teremos:

f o c o s : 0 , 12   e   0 , - 12

v é r t i c e s : 0,4   e   ( 0 , - 4 )

Por fim, esboçando o gráfico da elipse, teremos:

Resposta

f o c o s : 0 , 12   e   0 , - 12

v é r t i c e s : 0,4   e   ( 0 , - 4 )

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