Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 10.5 - Ex. 36

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31-48. Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

36. Parábola, eixo horizontal, passando em ( - 1,0 ) , ( 1 , - 1 ) e ( 3,1 )

Passo 1

Então pessoal, diferentemente das outras questões, aqui nós devemos descobrir a equação da parábola utilizando a maneira tradicional mesmo, uma vez que a questão não nos informa nada sobre vértice, foco ou diretriz. Se o eixo da parábola fosse vertical, então o seu formato seria do jeito que conhecemos mesmo, que é esse aqui:

y = a x 2 + b x + c

No entanto, aqui ele diz que o eixo é horizontal, então estamos falando dessa parábola refletida, assim como discutido na seção 10.5 do Stewart:

x = a y 2 + b y + c

Parece coincidência o enunciado nos fornecer 3 pontos e termos 3 constantes para descobrir? Não me parece nem um pouco coincidência, então bora lá!

Passo 2

O primeiro ponto que nos foi cedido é ( - 1,0 ) , então se substituirmos, teremos:

- 1 = 0 + 0 + c

∴ c = - 1

Ok, agora encontramos uma das constantes! Substituindo, teremos a seguinte equação:

x = a y 2 + b y - 1

Substituindo o segundo ponto que nos foi cedido, que é ( 1 , - 1 ) , teremos:

1 = a - b - 1

a - b = 2

Substituindo o terceiro ponto que nos foi cedido, que é ( 3,1 ) , teremos:

3 = a + b - 1

a + b = 4

Então agora temos um sistema de equações para resolver:

a - b = 2 a + b = 4

Passo 3

Vamos utilizar o método da soma para resolver o sistema linear em questão, tudo bem? Somando as equações, teremos:

a = 3

Substituindo esse valor em qualquer uma das duas equações, teremos:

3 - b = 2

b = 1

Por fim, agora que determinamos a , b e c , temos que a equação da parábola é:

x = 3 y 2 + y - 1

Resposta

x = 3 y 2 + y - 1

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