Enunciado

31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

47. ∫ 0 1 x 4 - 3 x 4 d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ 0 1 x 4 - 3 x 4 d x = ∫ 0 1 x 4 - 3 x 2 2 d x

A substituição que iremos utilizar é:

u = 3 x 2

Encontrando a relação entre d x e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = 2 3 x d x

∴ d u 2 3 = x d x

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ 0 1 x 4 - 3 x 2 2 d x = 1 2 3 ∫ 0 1 d u 4 - u 2

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Antes de resolvermos a integral, vamos alterar os intervalos de integração utilizando a expressão u x que encontramos no passo anterior, se liga:

u = 3 x 2

u 1 = 3

u 0 = 0

Logo:

1 2 3 ∫ 0 1 d u 4 - u 2 = 1 2 3 ∫ 0 3 d u 4 - u 2

Passo 3

Ok, agora sim resolvendo nossa integral, teremos:

1 2 3 ∫ 0 3 d u 4 - u 2 = 1 2 3 . a r c   s e n u 2 3 0

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

1 2 3 ∫ 0 3 d u 4 - u 2 = 1 2 3 . a r c   s e n 3 2 - a r c   s e n   0

∴ ∫ 0 1 x 4 - 3 x 4 d x = π 6 3

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ 0 1 x 4 - 3 x 4 d x = π 6 3

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19-22. Calcule a integral definida expressando-a em termos de u e calculando a integral resultante usando uma fórmula de Geometria.19. ∫ - 5 3 5 3 25 - 9 x 2 d x ; u = 3 x
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.16. ∫ 0 ln ⁡ 5 e x 3 - 4 e x d x
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