Enunciado

19-22. Calcule a integral definida expressando-a em termos de u e calculando a integral resultante usando uma fórmula de Geometria.

19. ∫ - 5 3 5 3 25 - 9 x 2 d x ; u = 3 x

Passo 1

Então galera, a integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ - 5 3 5 3 25 - 9 x 2 d x

E nossa substituição é:

u = 3 x

Derivando para descobrirmos d u em função de d x :

d u = 3 d x

∴ d u 3 = d x

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ - 5 3 5 3 25 - 3 x 2 d x = 1 3 ∫ - 5 3 5 3 25 - u 2 d x

Ok, primeira parte finalizada!

Passo 2

O que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a x , e sim em relação a u ! Os intervalos são: x = - 5 3 e x = 5 3 , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:

u - 5 3 = 3 . - 5 3 = - 5

u 5 3 = 3 . 5 3 = 5

Logo, nossa integral será:

∫ - 5 3 5 3 25 - 3 x 2 d x = 1 3 ∫ - 5 5 25 - u 2 d x

Passo 3

Na integral que chegamos no passo anterior há uma informação bastante implícita, galera! O gráfico do nosso integrando y = 25 - u 2 é o semicírculo superior de raio 5 e centro na origem; sendo assim, a região é metade de um círculo inteiro estendendo-se de x = - 5 até x = 5 , ou seja:

1 3 ∫ - 5 5 25 - u 2 d x = 1 3 1 2 . Á r e a   d o   c í r c u l o

1 3 ∫ - 5 5 25 - u 2 d x = 1 3 1 2 . π R 2 = 1 6 . π . 5 2

∴ 1 3 ∫ - 5 5 25 - u 2 d x = 25 π 6

E essa é a nossa resposta, pessoal! Vale ressaltar que a integral foi resolvida pensando na geometria do problema e não em uma técnica de fato, ok? 😊

Resposta

∫ - 5 3 5 3 25 - 9 x 2 d x = 25 π 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t = t g x 2 converte qualquer função racional de s e nx e cos ⁡ x em uma função racional ordinária de t .c) Mostre que d x
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t = t g x 2 converte qualquer função racional de s e nx e cos ⁡ x em uma função racional ordinária de t .b) Mostre que cos
A eletricidade é fornecida para as casas na forma de corrente alternada, significando que a voltagem tem uma forma senoidal, descrita por uma equação da forma V=V ps e n 2πf t (ver figura abaixo). Nes
(a) Prove que, se f for uma função ímpar, então ∫ - a a f ( x ) d x = 0 e dê uma explicação geométrica desse resultado. [Sugestão: Uma forma de provar que uma quantidade q é zero é mostrar que q=- q .
Seja I = ∫ - 1 1 1 1 + x 2 d x (a) Explique por que I0 (b) Mostre que a substituição x=1 / u resulta em I = - ∫ - 1 1 1 1 + x 2 d x = - I Logo, 2 I=0 , implicando I=0 . No entanto, isso contradiz (a).