Enunciado

31b- Melhore essa estimativa usando ( 3 ) com n = 10 ?

Passo 1

Esse ( 3 ) dito no enunciado se refere ao teorema 3 presente na página 725 do livro que nos diz que o resultado da soma dos n termos da série está compreendido em:

s_n + int_(n + 1)^(oo) f (x) d x <= s <= s_n + int_n^(oo) f (x) d x

Onde na letra anterior foi descoberto que a soma do dez primeiros termos s_10 é igual a:

s_10 = 1.549768

Agora basta fazer a integral indo de 11 até infinito e de 10 até infinito da integral de 1 // x^2 . Esse teorema é válido pois a função correspondente no domínio de x é contínua e decrescente em todo o intervalo (ou seja de 1 até infinito os termos só decrescem e seguem uma linha única.)

Passo 2

Logo vamos fazer conta uai tchê:

1.549768 + int_(11)^(oo) (1)/(x^2) d x <= s <= 1.549768 + int_(10)^(oo) (1)/(x^2) d x

A integral indefinida de 1 // x^2 é:

int (1)/(x^2) d x = int x^(- 2) = - x^(- 1) = - (1)/(x)

Logo:

1.549768 + [- (1)/(x)]_(11)^(oo) <= s <= 1.549768 + [- (1)/(x)]_(10)^(oo)

1.549768 + [- (1)/(oo) + (1)/(11)] <= s <= 1.549768 + [- (1)/(oo) + (1)/(10)]

1.549768 + (1)/(11) <= s <= 1.549768 + (1)/(10)

1.6406771 <= s <= 1.649768

Passo 3

O valor s pode ser dado como a média aritmética dos dois valores encontrados na desigualdade:

s = (1.6406771 + 1.649768)/(2) = 1.645222

Logo o erro será de:

e = 1.649768 - 1.645222 = 0.0045

e <= 0.005

Aproximando o erro para cima.

Resposta

s = 1.645222

e <= 0.005

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