Enunciado

32. Ache a menor distância do ponto P 2,0 a um ponto sobre a curva y 2 - x 2 = 1 , e ache o ponto sobre a curva que seja mais próximo de P .

Passo 1

Vamos achar a distância e seu valor mínimo, derivando como foi feito nas outras questões.

Passo 2

Uma distância é mínima se o seu quadrado for mínimo também. A distância do ponto P 2,0 até um ponto Q ( x , y ) na curva y 2 - x 2 = 1 será

d = ( x - 2 ) 2 + ( y - 0 ) 2

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Passo 3

Como Q pertence à curva, podemos substituir y 2 = 1 + x 2 na equação de d .

Ficamos com:

d x = ( x - 2 ) 2 + 1 + x 2 = 2 x 2 - 4 x + 5

Passo 4

Queremos a distância mínima, então precisamos derivar d ( x ) e igualar a zero para achar o ponto mínimo.

d ' x = 4 x - 4 = 4 x - 1

Vamos avaliar...

Para x < 1 , d ' x < 0 e x > 1 , d ' x > 0 . Substituindo o valor de x : d 1 = 3 , podemos dizer que esse é valor mínimo. A menor distância será d = 3 (porque combinamos lá no início que “uma distância é mínima se o seu quadrado for mínimo”)

Quando x = 1 , y 2 = 2 então y = ± 2

Então o ponto mais próximo será ( 1 ,   ± 2 )

Resposta

Distância mínima 3 e ponto ( 1 ,   ± 2 ) .

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