Enunciado

Mostre que entre todos os retângulos tendo uma área de 81   c m 2 , o quadrado com 9   c m de lado tem o menor perímetro.

Passo 1

Seja o retângulo dado abaixo:

Por hipótese temos que x y = 81 c m 2 (1).

Passo 2

O perímetro deste retângulo é dado por:

P = 2 x + 2 y (2)

Da equação (1) temos:

x y = 81 ⇒

y = 81 x

Substituindo em (2) temos:

P = 2 x + 2 81 x ⇒

P = 2 x + 162 x

Como P agora só depende da variável x podemos reescrever:

P x = 2 x + 162 x - 1

Note que como x e y são as medidas dos lados do retângulo devamos ter x > 0 e y > 0 .

Passo 3

Derivando a equação do perímetro temos:

P ' x = 2 + 162 - 1 x - 2 ⇒

P ' x = 2 - 162 x - 2 ⇒

P ' x = 2 - 162 x 2

Como P ' existe para todo valor de x > 0 , temos que os pontos críticos de P ocorrerão quando P ' x = 0 . Assim:

P ' x = 0 ⇒

2 - 162 x 2 = 0 ⇒

2 = 162 x 2 ⇒

2 x 2 = 162 ⇒

x 2 = 162 2 ⇒

x 2 = 81 ⇒

x = ± 81 ⇒

x = ± 9

Como x > 0 temos que o ponto crítico de P ocorre em x = 9

Passo 4

Note que:

Se x < 9 , temos P ' x < 0 ;

Se x > 9 , temos P ' x > 0 .

Assim, pelo teste da primeira derivada temos um mínimo de P em x = 9 .

Substituindo x = 9 em (1) temos:

9 y = 81 ⇒

y = 81 9 ⇒

y = 9

Portanto, o retângulo com área 81   c m 2 e menor perímetro é o quadrado de lado 9   c m , como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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