Enunciado

Um helicóptero deixa o solo num ponto a 250 m de um observador e sobe verticalmente a 7,5 m/s. Ache a taxa de variação no tempo da medida do ângulo de elevação do helicóptero quando ele estiver a 180 m do solo.

Passo 1

Esse vai ser um problema de taxas relacionadas, a primeira coisa a tentar se fazer neste tipo de questão é um esboço do que está acontecendo, olhem na imagem abaixo como facilita o entendimento.

Temos o helicóptero que deixou o solo no ponto D a 250 m do observador e subiu verticalmente formando o ângulo de elevação α . Também marquei o   y que é a altitude do helicóptero. Queremos a taxa de variação do ângulo quando a altitude é 180 m.

Precisamos descobrir d α d t e temos a velocidade com que o helicóptero sobe, que é a taxa de variação do nosso y em relação ao tempo, já que ele sempre sobe na vertical. Sendo assim, d y d t = 7,5 .

Passo 2

Precisamos descobrir uma expressão para α . Para achar d α d t , temos das relações trigonométricas:

tan ⁡ α = y 250

Então α = tan - 1 ⁡ y 250 .

Passo 3

Para achar d α d t precisamos derivar implicitamente a expressão de α em relação ao tempo. Vamos então tomar a derivada de ambos os lados:

d α d t = d d t tan - 1 ⁡ y 250

Agora devemos lembrar que tan - 1 ⁡ u ' = u ' 1 + u 2 em que u é uma função. Aplicando a fórmula, ficamos com:

d α d t = y 250 ' 1 + y 250 2 = 1 250 d y d t 1 + y 2 250 2 = d y d t 250 + y 2 250 = d y d t 250 2 + y 2 250 = 250 d y d t 250 2 + y 2

Lembre-se que derivamos acima implicitamente em relação a t . Chegamos então em:

d α d t = 250 d y d t 250 2 + y 2

Passo 4

Agora vamos substituir d y d t = 7,5 .

d α d t = 250 ( 7,5 ) 250 2 + y 2 = 1875 250 2 + y 2

Passo 5

Nesta etapa vamos substituir o y = 180 , que é quando o helicóptero está a 180 m de altitude. Sendo assim, quando y = 180 :

d α d t = 1875 250 2 + 180 2 = 75 3796 ≈ 0.02

Pronto! A taxa de variação é 75 3796 ≈ 0.02 rad/s.

Resposta

O ângulo de elevação está aumentando a uma taxa de 75 3796 ≈ 0.02 rad/s.

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