Enunciado

32- Determine a massa e o centro de massa de uma arame fino no formato de um quarto de círculo x 2 + y 2 = r 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , se a função densidade for ρ x , y = x + y

Passo 1

Por ser um círculo então a parametrização será:

x = r cos ⁡ t

y = r sin ⁡ t

Onde t por ser um quarto de círculo será igual a:

0 ≤ t ≤ π 2

Então a integral para calcular a massa será igual a:

∫ C x + y d s = ∫ 0 π 2 r c o s   t + r s i n   t d d t r cos ⁡ t 2 + d d t r sin ⁡ t 2   d t

r ∫ 0 π 2 ( cos ⁡ t + sin ⁡ t )   r   d t

r 2 ∫ 0 π / 2 ( cos ⁡ t + sin ⁡ t )   d t

r 2 sin ⁡ t - cos ⁡ t 0 π 2 = r 2 1 - - 1 = 2 r 2

Passo 2

Agora fazendo a coordenada x do centro de massa temos:

x - = ∫ x   m   d s m

Agora:

x - = 1 2 r 2 ∫ 0 π / 2 ( x   ( cos ⁡ t + sin ⁡ t )   r   d t  

x - = r 2   ∫ 0 π / 2 ( cos 2 ⁡ t + cos t  sin ⁡ t )   d t

O que é a mesma coisa que:

x - = r 2 ∫ 0 π / 2 1 - cos ⁡ 2 t 2 + sin ⁡ 2 t 2 d t

Fazendo essa integral temos:

x - = r 2 t 2 - sin ⁡ 2 t 4 - cos ⁡ 2 t 4 0 π / 2

Logo:

x - = r 2 π 4 + 0 + 1 4 + 1 4 = r [ π + 2 ] 8

Passo 3

Agora para a coordenada y do centro de massa:

y - = ∫ y   m   d s m

Isso nos dá:

y - = 1 2 r 2 ∫ 0 π / 2 ( y   ( cos ⁡ t + sin ⁡ t )   r   d t  

y - = r 2 ∫ 0 π / 2 ( sin ⁡ t cos ⁡ t + sin 2 ⁡ t )   d t

Isso é a mesma coisa que:

y - = r 2 ∫ 0 π / 2 sin ⁡ 2 t 2 + 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t

Agora fazendo a integral:

y - = r 2 - cos ⁡ 2 t 2 + t 2 + sin ⁡ 2 t 4 0 π 2

Agora aplicando o intervalo:

y - = r 2 2 4 + π 4 + 0 = r π + 2 8

Resposta

x - = y - = r [ π + 2 ] 8

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