Enunciado

A expectativa de vida melhorou significativamente no século X X . A tabela fornece os valores de E ( t ) , a expectativa de vida no nascimento (em anos) de um menino no ano t nos Estados Unidos. Interprete e estime os valores de E ' ( 1910 ) e E ' ( 1950 ) .

Passo 1

Opa, bora lá! O enunciado nos dá uma tabela da expectativa de vida ao longo dos anos:

Sabendo disso a gente precisa estimar E ' ( 1910 ) e E ' ( 1950 ) e interpretar os resultados! Devemos lembrar que a derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação e essa definição que usaremos nesses problemas.

Nesta situação, a derivada E ' ( t ) é a taxa de crescimento da expectativa de vida em um dado momento. Em outras palavras, quanto E ( x ) tende a aumentar do ano t em direção ao seguinte.

E pra calcular esses valores, vamos usar a definição de derivada:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Passando pras nossas variáveis:

E ' ( t ) = lim ∆ t → 0 ⁡ E ( t + ∆ t ) - E ( t ) ∆ t

Vamos ver isso na prática!

Passo 2

Considerando o que discutimos no passo 1, podemos dizer que:

  • E ' ( 1910 ) é taxa de variação da expectativa de vida no ano de 1910
  • E ' ( 1950 ) é taxa de variação da expectativa de vida no ano de 1950

Passo 3

Da definição que vimos no passo 1 pra derivada:

E ' ( t ) = lim ∆ t → 0 ⁡ E ( t + ∆ t ) - E ( t ) ∆ t

Vamos calcular nosso primeiro valor

E ' ( 1910 ) = lim ∆ t → 0 ⁡ E ( 1910 + ∆ t ) - E ( 1910 ) ∆ t

Agora pensa comigo quem vai ser ∆ t . A rigor, ele não tem um valor definido, mas percebe que ele tende a zero, então faz sentido a gente pegar a menor variação possível certo?

Vamos considerar o ano seguinte de que temos dados:

t + ∆ t = 1920

∆ t = 10

Então a derivada fica:

E ' 1910 = E 1920 - E 1910 1920 - 1910 = 55,2 - 51,1 10

E ' 1910 = 0,41

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa pra

E ' ( 1 95 0 ) = lim ∆ t → 0 ⁡ E ( 19 5 0 + ∆ t ) - E ( 1 95 0 ) ∆ t

Vamos também usar o dado imediatamente seguinte

Então

E ' 1950 = E 1960 - E 1950 1960 - 1950 = 66,6 - 65,6 10

E ' 1950 = 0,1

Não esqueça das unidades hein! Taxa tem um significado teórico, no nosso caso é a variação dos

a n o s   d e   e x p e c t a t i v a   d e   v i d a / a n o s   d e c o r r i d o s  

Logo

E ' 1910 = 0,41   a n o s   d e   e x p e c t a t i v a   d e   v i d a / a n o s   d e c o r r i d o s  

E ' 1950 = 0,1   a n o s   d e   e x p e c t a t i v a   d e   v i d a / a n o s   d e c o r r i d o s  

Prontinhoo!

Resposta

E ' ( 1910 ) é taxa de variação da expectativa de vida no ano de 1910 e E ' ( 1950 ) é taxa de variação da expectativa de vida no ano de 1950 .

E ' 1910 = 0,41   a n o s   d e   e x p e c t a t i v a   d e   v i d a / a n o s   d e c o r r i d o s  

E ' 1950 = 0,1   a n o s   d e   e x p e c t a t i v a   d e   v i d a / a n o s   d e c o r r i d o s  

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Use a Definição 2.2 . 1 (com a mudança apropriada na notação) para obter a derivada pedida.Encontre f ' t se f t = 4 t 2 + t .
Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .y = (1)/(sqrt(x))
Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .y = (1)/(x + 1)
Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .y = (1)/(sqrt(x - 1))
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = - 2 tiver inclinação negativa, então f ' - 20 .