Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

y^(' ') + 2 y^' + y = 2 e^(- t)

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y_h ). Lembrando que a EDO homogênea é y^(' ') + 2 y^' + y = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y_p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y_h + y_p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y^(' ') passa a ser r^2 , y^' passa a ser r^2 e y é o termo independente.

.

r^2 + 2 r + 1 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o Delta = b^2 - 4 a c e utilizaremos a fórmula de Bhaskara (r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)) .

Sendo que a = 1 , b = 9 e c = 1 .

Importante!!!

  • Se o resultado do Delta > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 t e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y = e^(alpha t) (C_1 c o s beta t + C_2 s e n beta t)

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

Delta = b^2 - 4 a c

Delta = 2^2 - 4 (1) (1)

Delta = 0

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)

r = (- 2 +- sqrt(0))/(2 ( 1 ))

r = (- 2 +- 0)/(2)

r_1 = r_2 = - 1

Passo 3

Como Delta = 0 , a solução da EDO homogênea será:

y_h = C_1 e^(r_1 t) + C_2 t e^(r_2 t)

y_h = C_1 e^(- t) + C_2 t e^(- t)

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y_p = A t^2 e^(- t)

Substituiremos y_p na EDO do problema para assim, determinar a constante A.

y '_p = A [ 2 t - t^2 ] e^(- t)

y ' '_p = A [ 2 - 4 t + t^2 ] e^(- t)

Lembrando que, y ' '_p + 2 y '_p + y_p = 2 e^(- t)

A [ 2 - 4 t + t^2 ] e^(- t) + 2 A [ 2 t - t^2 ] e^(- t) + A t^2 e^(- t) = 2 e^(- t)

Arrumando os termos

2 A e^(- t) = 2 e^(- t)

Logo, para manter a igualdade

A = 1

Substituindo A na solução particular,

y_p = t^2 e^(- t)

Passo 5

A solução da EDO será

y = y_h + y_p

y = C_1 e^(- t) + C_2 t e^(- t) + t^2 e^(- t)

Resposta

y = C_1 e^(- t) + C_2 t e^(- t) + t^2 e^(- t)

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