Encontre a solução geral da equação diferencial

y'' + 2y' + y = 2e^(-t)

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y h ). Lembrando que a EDO homogênea é y ' ' + 2 y ' + y =   0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y h +   y p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y ' ' passa a ser r 2 , y ' passa a ser r 2 e y é o termo independente.

.

r 2 + 2 r + 1 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 1 , b = 9   e c = 1 .

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆   > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆   < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   2 2 - 4 1 1

∆   =   0

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = - 2 ± 0 2 ( 1 )

r = - 2 ± 0 2

r 1 =   r 2 = - 1

Passo 3

Como ∆   =   0 , a solução da EDO homogênea será:

y h =   C 1 e r 1 t +   C 2 t e r 2 t

y h =   C 1 e - t +   C 2 t e - t

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y p = A t 2 e - t

Substituiremos y p na EDO do problema para assim, determinar a constante A.

y ' p = A [ 2 t - t 2 ] e - t

y ' ' p = A [ 2 - 4 t + t 2   ] e - t

Lembrando que, y ' ' p + 2 y ' p + y p =   2 e - t

A [ 2 - 4 t + t 2   ] e - t + 2 A [ 2 t - t 2 ] e - t + A t 2 e - t =   2 e - t

Arrumando os termos

2 A e - t =   2 e - t

Logo, para manter a igualdade

A =   1

Substituindo A na solução particular,

y p = t 2 e - t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y h +   y p

y =   C 1 e - t +   C 2 t e - t +   t 2 e - t

Resposta

y =   C 1 e - t +   C 2 t e - t +   t 2 e - t

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