Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

y^(' ') + y^' - 2 y = 2 t

y (0) = 0 , y^' (0) = 1

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y_h ). Lembrando que a EDO homogênea é y^(' ') + y^' - 2 y = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y_p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y_h + y_p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y^(' ') passa a ser r^2 , y^' passa a ser r^2 e y é o termo independente.

.

r^2 + r - 2 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o Delta = b^2 - 4 a c e utilizaremos a fórmula de Bhaskara (r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)) .

Sendo que a = 1 , b = 1 e c = - 2 .

Importante!!!

  • Se o resultado do Delta > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 t e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y = e^(alpha t) (C_1 c o s beta t + C_2 s e n beta t)

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

Delta = b^2 - 4 a c

Delta = 1^2 - 4 (1) (- 2)

Delta = 9

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)

r = (- 1 +- sqrt(9))/(2 ( 1 ))

r = (- 1 +- 3)/(2)

r_1 = (- 1 + 3)/(2) = 1

e

r_2 = (- 1 - 3)/(2) = - 2

Passo 3

Como Delta = 1 , a solução da EDO homogênea será:

y_h = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

y_h = C_1 e^t + C_2 e^(- 2 t)

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y_p = A + B t

Onde,

Que satisfaz a equação

y ' '_p + y '_p - 2 y_p = 2 t

Substituiremos y_p na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

y '_p 1 = B

y ' '_p 1 = 0

0 + B - 2 ( A + B t ) = 2 t

B - 2 A - 2 B t = 2 t

Para manter a igualdade,

B - 2 A = 0

- 2 B = 2

Logo,

B = - 1

A = - (1)/(2)

Portanto, a solução particular da EDO será

y_p = - (1)/(2) - t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y_h + y_p

y = C_1 e^t + C_2 e^(- 2 t) - (1)/(2) - t

Passo 6

Aplicando a condição inicial

y (0) = C_1 + C_2 - (1)/(2) = 0

y^' = C_1 e^t - 2 C_2 e^(- 2 t) - 1

y^' (0) = C_1 - 2 C_2 - 1 = 1

Temos então o seguinte sistema de equações,

C_1 + C_2 = (1)/(2)

C_1 - 2 C_2 = 2

Resolvendo o sistema de equações encontramos

C_1 = 1

C_2 = - (1)/(2)

Logo,

y = e^t - (1)/(2) e^(- 2 t) - (1)/(2) - t

Resposta

y = e^t - (1)/(2) e^(- 2 t) - (1)/(2) - t

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