Encontre a solução geral da equação diferencial

y'' + y' - 2y = 2t

y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y h ). Lembrando que a EDO homogênea é y ' ' + y ' - 2 y =   0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y h +   y p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y ' ' passa a ser r 2 , y ' passa a ser r 2 e y é o termo independente.

.

r 2 + r - 2 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 1 , b = 1   e c = - 2 .

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆   > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆   < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   1 2 - 4 1 - 2

∆   =   9

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = - 1 ± 9 2 ( 1 )

r = - 1 ± 3 2

r 1 = - 1 + 3 2 = 1

e

r 2 = - 1 - 3 2 = - 2

Passo 3

Como ∆   =   1 , a solução da EDO homogênea será:

y h =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

y h =   C 1 e t +   C 2 e - 2 t

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y p = A + B t

Onde,

Que satisfaz a equação

y ' ' p + y ' p - 2   y p =   2 t

Substituiremos y p na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

y ' p 1 = B

y ' ' p 1 = 0

0 + B - 2 ( A + B t ) =   2 t

B - 2 A - 2 B t =   2 t

Para manter a igualdade,

B - 2 A = 0

- 2 B = 2

Logo,

B = - 1

A = -   1 2

Portanto, a solução particular da EDO será

y p = - 1 2 - t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y h +   y p

y =   C 1 e t +   C 2 e - 2 t - 1 2 - t

Passo 6

Aplicando a condição inicial

y 0 =   C 1 +   C 2 - 1 2 = 0

y ' =   C 1 e t   - 2 C 2 e - 2 t - 1

y ' 0 =   C 1   - 2 C 2 - 1 = 1

Temos então o seguinte sistema de equações,

C 1 +   C 2 = 1 2

C 1   - 2 C 2 = 2

Resolvendo o sistema de equações encontramos

C 1 = 1  

C 2 = - 1 2

Logo,

y =   e t - 1 2 e - 2 t - 1 2 - t

Resposta

y =   e t - 1 2 e - 2 t - 1 2 - t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados