Enunciado

3-32. Determine se a série converge ou diverge.

sum_(k = 1)^(oo) (( 2 k - 1 ) ( k^2 - 1 ))/(( k + 1 ) ( k^2 + 4 ) ²)

Passo 1

A ideia de se analisar esse tipo de série é tomar uma série parecida com a que temos no qual sabemos seu resultado e comparar com a série que nos foi dada. Ficou confuso? Prometo que tudo vai ficar mais claro, beleza? Antes de tomarmos uma série parecida, vamos fazer a distributiva na série que nos foi dada, saca só:

(( 2 k - 1 ) ( k^2 - 1 ))/(( k + 1 ) ( k^2 + 4 ) ²) = (2 k . k^2 - 2 k - k^2 + 1)/(k . k^4 + k . 8 k^2 + 16 k + k^4 + 8 k^2 + 16)

Uma série parecida com a nossa pode ser:

(( 2 k - 1 ) ( k^2 - 1 ))/(( k + 1 ) ( k^2 + 4 ) ²) < (2 k . k^2)/(k . k^4) = (2)/(k^2)

A série que tomamos como referência é uma série convergente, dado que o expoente de k , que comumente é chamado de p , é maior que 1 . Dessa forma, a série que nos foi dada também é convergente.

Resposta

sum_(k = 1)^(oo) (( 2 k - 1 ) ( k^2 - 1 ))/(( k + 1 ) ( k^2 + 4 ) ²) é c o n v e r g e n t e

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