Enunciado

Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e uso e teste da derivada segunda (quando possível) para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou em nenhum dos dois.

f x = x 2 + 8 x

Passo 1

Sendo a função :

f x = x 2 + 8 x

O primeiro passo para aplicar o teste da segunda derivada é encontrar a derivada da função, usando a derivação de um polinômio:

f ' x = 2 x - 8 x 2

Analisando essa fórmula, sabemos que uma raiz está em :

2 x - 8 x 2 = 0

2 x = 8 x 2

x 3 = 8 2

x = 4 3

O outro ponto crítico pode ser dado quando x = 4 3 .

Passo 2

Agora, para continuar o teste da segunda derivada, derivamos a função mais uma vez:

f '   x = 2 x - 8 x 2

f ' '   x = 2 + 16 x 3

Agora, devemos, analisar o valore da raiz em x = 4 3 aplicado na segunda derivada:

f ' '   4 3 = 2 + 16 ( 4 3 ) 3 = 2 + 16 4 = 6 > 0

Analisando o que foi explicado no exercício 23 do capítulo de revisão:

f ' '   4 3 > 0

É portanto, um mínimo relativo.

Resposta

Mínimo Relativo: f ' '   4 3 > 0

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