Enunciado

34. Ache a menor distância do ponto A 2 , 1 2 a um ponto sobre a parábola y = x 2 , e ache o ponto B sobre a parábola que seja o mais próximo de A . Então, mostre que A está sobre a reta normal da parábola em B .

Passo 1

Primeiro, vamos minimizar a distância do ponto A e depois tratamos do ponto B .

Passo 2

Vamos chamar de z o quadrado da distância da origem até o ponto A até um ponto ( x , y ) na parábola.

Então

z = x - 2 2 + y - 1 2 2

Como o ponto está na parábola, podemos substituir y = x 2 :

z = x - 2 2 + x 2 - 1 2 2 = x 4 - 4 x + 17 4

Passo 3

Queremos a menor distância, então derivamos z :

z ' x = 4 x 3 - 4 = 4 ( x 3 - 1 )

Vamos avaliar...

Para x < 1 , z ' x < 0 e para x > 1 , z ' x > 0 . E z 1 = 5 4 , que é um ponto de mínimo!

Passo 4

A distância mínima será z = 5 4 = 5 2 . Para x = 1 , y = x 2 = 1 , então temos o ponto ( 1,1 )

Para uma reta normal à parábola num ponto B , vamos derivar y = x 2 , que dá y = 2 x , coeficiente angular 2.

Então temos o segmento ( 1,1 ) até 2 , 1 2 com coeficiente angular 1 2 - 1 2 - 1 = - 1 2

O macete agora é que se 2 retas são perpendiculares, seus coeficientes angulares c 1 e c 2 obedecem a relação:

c 1 = - 1 c 2

Como os coeficientes atendem essa relação, mostramos que o ponto A fica numa reta perpendicular à parábola dada em B .

Resposta

A menor distância é 5 2 , ponto P ( 1,1 ) .

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