Enunciado

37. Ficou determinado que, excluindo-se os salários, o custo por quilômetro para operar um caminhão é de 8 + 1 300 x , onde x km/h é a velocidade do caminhão. Se os salários do motorista e do ajudante forem, no total, de $27 por hora, qual deverá ser a velocidade média do caminhão para que o custo por quilômetro seja mínimo?

Passo 1

Vamos ter achar um ponto de velocidade para que o custo seja mínimo, mesmo raciocínio de outras questões, precisamos derivar a equação de custo.

Passo 2

Se a velocidade é x km/h, para percorrer 1 km, leva-se 1 x h . Se C ( x ) é o custo total por quilômetro, então C x = 8 + 1 300 x + 27 . 1 x , certo?

Passo 3

Queremos que esse custo seja mínimo, então vamos derivar e igualar a 0 pra achar um x que satisfaça isso.

C ' x = 1 300 - 27 x 2 = 1 300 x 2 ( x 2 - 8100 )

C ' x = 0 = 1 300 x 2 ( x 2 - 8100 )

1 300 x 2 x 2 - 8100 = 0

x 2 - 8100 = 0

x = 8100 = 90   k m / h

Passo 4

Agora, vamos avaliar...

Como C ' x < 0 para x < 90 e C ' x > 0 para x > 90 , o custo C tem um mínimo em x = 90   k m / h

Prontinho

Resposta

x = 90   k m / h

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