Enunciado

Jane está em um barco a remo a 2 milhas da costa e deseja chegar a uma cidade litorânea que está a 6 milhas em linha reta do ponto (na costa) mais próximo do barco. Ela pode remar a 2 milhas por hora e caminhar a 5 milhas por hora. Onde ela deve aportar para chegar À cidade no tempo mais curto possível?

Passo 1

Vamos chamar de x a distância na costa de onde ela aporta o barco e onde ela está. Como na figura

Assim, a distância que ela vai remar, vai ser feita por Pitágoras, que vai ser:

d 2 = 2 2 + x 2

d 2 = 4 + x 2

d = 4 + x 2

Como está no desenho.

O tempo que ela vai levar para fazer cada parte é a divisão da distância pela velocidade que ela tem.

t m a r = d 2 = 4 + x 2 2

t t e r r a = 6 - x 5

Vamos ter que o tempo total vai ser:

t = t m a r + t t e r r a

t = 4 + x 2 2 + 6 - x 5

t = 4 + x 2 2 + 6 5 - x 5

Aqui, vamos ter que x vai de 0 , que é quando ela rema em linha reta até a costa e 6 , que é quando ela rema em linha reta até a vila.

Passo 2

Letra b

Para achar o tempo mínimo, temos que achar o ponto de mínimo de t .

Para isso, temos que ver se existe algum extremo no intervalo de x e comparar com os extremos do intervalo.

Vamos começar achando a derivada:

t ' = 4 + x 2 2 + 6 5 - x 5 '

t ' = 4 + x 2 2 ' - 1 5

Para derivar aquela raiz, vamos escrevê-la em forma de potência:

4 + x 2 = 4 + x 2 1 2

Asism, teremos:

t ' = 4 + x 2 1 2 2 ' - 1 5

t ' = 1 2 4 + x 2 - 1 2 2 4 + x 2 ' - 1 5

Não podemos esquecer de derivar o termo dentro da potência, por conta da regra da cadeia.

t ' = 1 2 4 + x 2 - 1 2 2 2 x - 1 5

t ' = x 2 4 + x 2 - 1 5

Vamos ter:

x 2 4 + x 2 - 1 5 = 0

x 2 4 + x 2 = 1 5

Multiplicando cruzado:

2 4 + x 2 = 5 x

Elevando ao quadrado:

4 4 + x 2 = 25 x 2

16 + 4 x 2 = 25 x 2

21 x 2 = 16

x 2 = 16 21

x = ± 4 21

Como x é maior que 0 , vamos pegar só

x = 4 21

Passo 3

Agora, poderíamos verificar se ele é ponto de mínimo ou não. Mas aquela raiz vai ser bem ruim de trabalhar e a segunda derivada vai ser um porre. Então podemos antecipar isso e so comparar os extremos com esse valro de x na função. O menor é o ponto de mínimo.

t = 4 + x 2 2 + 6 5 - x 5

Vamos usar uma calculadora para ajudar as contas:

x = 0 → t = 2,2

x = 4 21 → t ≅ 2,12

x = 6 → t ≅ 3,16

Então o ponto de mínimo é quando a distânciua for 4 21

Resposta

À 4 21 milhas de distância, na costa, do ponto onde ela está

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