Enunciado

34. O exemplo 4 e o Exercício 33 são casos particulares da seguinte situação genérica: um objeto ( como uma pintura ou um letreiro de sinalização ) com a   m de altura, está colocado em uma parede, de tal forma que sua base esteja a b   m do nível dos olhos do observador. Mostre que o observador terá melhor visão do objeto quando a distância dele até a parede for b a + b   m .

Passo 1

Para resolução dessa questão pode ser utilizado a mesma idéia desenvolvida na resolução da questão anterior, apenas substituindo valores numéricos por valores genéricos a   e   b .

Passo 2

Seja x   a distância do observador até a parede. Queremos encontrar o valor de x que irá tornar θ um máximo absoluto. Como x está no intervalor 0 , + ∞   , o valor máximo absoluto de θ será um valor máximo relativo. Podemos ver da figura que β = α + θ , vemos também que:

c o t g   β = x ( a + b )   e   c o t g   α = x b

β = c o t g - 1 x ( a + b )   e   α = c o t g - 1 x b

Substituindo esses valores de α   e   β na relação θ = β - α ,   obtemos :

θ =   c o t g - 1 x ( a + b ) - c o t g - 1 x b

Passo 3

Derivando com relação a x a função que descreve o comportamento do ângulo em função da distância, teremos:

d θ d x = - 1 ( a + b ) 1 + x ( a + b ) 2 + 1 b 1 + x b 2

= - ( a + b ) ( a + b ) 2 + x 2 + b b 2 + x 2

Passo 4

Igualando a zero o resultado da derivada para encontrar os pontos críticos, vem:

d θ d x = 0

b ( a + b ) 2 + x 2 - ( a + b ) b 2 + x 2 = 0

b a 2 + 2 a b + b 2 + x 2 - a b 2 + a x 2 + b 3 + b x 2 = 0

b a 2 + 2 a b 2 + b 3 + b x 2 - a b 2 - a x 2 - b 3 - b x 2 = 0

b a 2 + a b 2 - a x 2 = 0

a b a + b = a x 2

x = b ( a + b )

A solução - b ( a + b ) foi rejeitada por não está no intervalor 0 , + ∞ . Como o valor máximo da relativo de θ é um valor máximo absoluto, concluímos que o observador deve ficar a aproximadamente b ( a + b ) m da parede.

Resposta

Demonstração.

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