82.Calcular f’(1) , se f(x) = ln(1 + x) + arcsen x / 2

Passo 1

Essa função é a soma de duas funções, iremos isolar cada uma delas:

f x = g x + h ( x )

E a fórmula da derivada da soma:

f ' x = g ' x + h ' ( x )

Passo 2

Derivando g ( x ) , temos:

g x = ln ⁡ 1 + x

g ´ x = 1 1 + x

Derivando h x , temos:

h x = a r c   s e n   x / 2

h ´ x = 1 2 1 - x / 2 2 = 1 2 1 - x 2 4

Passo 3

Agora escrevendo tudo na fórmula do produto das derivadas, temos:

f ' x = 1 1 + x + 1 2 1 - x 2 4

Fazendo o f ' ( 1 ) :

f ' 1 = 1 1 + 1 + 1 2 1 - 1 2 4

f ' ( 1 ) = 1 2 + 1 2 3 4 = 1 2 + 1 2 3 2 = 1 2 + 1 3 = 3 + 2 2 3

f ' ( 1 ) = 3 + 2 2 3

Racionalizando a fração acima, vamos ter isso aqui:

f ' 1 = 3 + 2 2 3 3 3 = 3 + 2 3 6

Resposta

f ' 1 = 3 + 2 3 6

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