35- Generalize o resultado do exercício 33.

Obs: exercício 33: Considere o polinômio P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 onde a_0, a_1, a_2 e a_3 são reais fixos. Seja x_0 um real dado.

  1. Mostre que existem reais A_0, A_1, A_2 e A_3 tais que P(x) = A_0 + A_1(x-x_0) + A_2(x-x_0)^2 + A_3(x-x_0)^3 .
  2. Conclua que P(x) = P(x_0) + P'(x_0)(x-x_0) + (P''(x_0)/2!)(x-x_0)^2 + (P'''(x_0)/3!)(x-x_0)^3 .

Passo 1

A questão 33 tratou o polinômio de Taylor de grau 3. Agora, queremos generalizar esse resultado. Ou seja, iremos tratar com o grau n. Note que quando derivamos o polinômio n vezes, apenas o termo de expoente igual a n se manterá, pois se o coeficiente for menor que n, se tornará constante a partir de certo ponto, e se for maior que n, temos que por causa do termo x - x 0 , este será zerado.

Observe que P x 0 = a 0 ,   P ' x 0 = a 1 . 1 ,     P ' ' x 0 = a 2 . 2.1 ,   P ' ' ' x 0 = a 3 . 3.2 . 1 e assim em diante.

Desse modo, temos que o n-ésimo coeficiente do polinômio poderá ser encontrado a partir da relação:

f n x 0 = n ! . a n

Passo 2

Agora que encontramos a relação entre a n-ésima derivada e o n-ésimo coeficiente, podemos reescrever:

a n = P n x 0 n !

E, portanto:

P x = P x 0 + P ' x 0 x - x 0 + P ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + … + P n x 0 n ! x - x 0 n

Desse modo, podemos reescrever o polinômio da seguinte forma:

P x = P x 0 + ∑ k = 1 n P k x 0 k ! x - x 0 k

Resposta

P x = P x 0 + ∑ k = 1 n P k x 0 k ! x - x 0 k .

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