Enunciado

Quantos metros de chapa de ferro são necessários para construir um arco AB, de forma parabólica, sendo A e B simétricos com relação ao eixo de simetria da parábola e com as seguintes dimensões: 2 m a distancia de A à B e 1 m a do vértice ao segmento AB.

Passo 1

Sendo o eixo de simetria da parábola o próprio eixo y, vamos ilustrar a parábola para fácil entendimento!

Analisando o gráfico podemos concluir que a função dada se trata de:

y = x 2 + 1

Passo 2

Agora que sabemos de qual função se trata, vamos calcular seu comprimento!!

Lembrando que para o calculo do comprimento nos usamos a seguinte formula:

d = ∫ b a 1 + d y d x 2 d x

Então, para calcula-la vamos primeiro calcular a deriva da função y :

d y d x = 2 x

Agora se pensar no intervalo como ele quer o comprimento indo de A até B, usaremos essa medida como intervalo!

a = 1

b = - 1

Então nossa distância será dada por:

d = ∫ - 1 1 1 + 4 x 2 d x

Passo 3

Antes de mais nada, precisamos calcular a primitiva desta integral! Pra isso faremos uso de substituições trigonométricas com ajuda do triângulo abaixo:

t a n θ = 2 x

Derivando dos dois lados e isolando dx :

d x = sec 2 ⁡ θ d θ 2

Também podemos observar que:

sec ⁡ θ = 1 + 4 x 2

E então jogando as informações que obtivemos chegamos que:

∫ 1 + 4 x 2 d x   = 1 2 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Passo 4

Usando a técnica de integração por partes ficaremos com:

u = sec ⁡ θ             d u = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

d v = sec 2 ⁡ θ       v = tan ⁡ θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1 :

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ + ∫ sec ⁡ θ d θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + ln ⁡ s e c θ + tan ⁡ θ + C

Masss a substituição trigonométrica foi apenas uma muleta para nos ajudar no caminho até a resposta, para resolver o problema agora devemos retorna a nossa variável x !!

Lembre que nos já calculamos essas funções trigonométricas !

t a n θ = 2 x       ; sec ⁡ θ = 1 + 4 x 2

∫ 1 + 4 x 2 d x   = 1 2 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

∫ 1 + 4 x 2 d x = 1 4 2 x 1 + 4 x 2 + ln ⁡ 1 + 4 x 2 + 2 x + C

Passo 5

Finalmente calcularemos o comprimento pedido no enunciado:

d = ∫ - 1 1 1 + 4 x 2 d x

d = 1 4 2 5 + ln ⁡ 5 + 1 - 1 4 - 2 5 + ln ⁡ 5 - 1

d = 1 4 4 5 + ln ⁡ 5 + 1 5 - 1

Agora pra fechar com chave de ouro e deixar a resposta ainda mais linda, vamos racionalizar a fração dentro do log:

ln ⁡ 5 + 1 5 - 1 = ln ⁡ 5 + 1 2 1 = 2 ln ⁡ 5 + 1

Substituindo este ultimo valor encontrado na nossa resposta chegamos que:

d = 1 2 2 5 + ln ⁡ 5 + 1

Resposta

Concluímos que serão necessários 1 2 2 5 + ln ⁡ 5 + 1 metros de chapa de ferro para construção do arco AB.

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Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = 2
Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = cos ⁡ 3 θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = 2 - cos ⁡ θ