Enunciado

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35. Um quadro com 40cm de altura está colocado numa parede, sendo que sua base está a 30cm acima do nível dos olhos de um observador. Se o observador está se aproximando da parede com uma velocidade de 40 cm/s com que velocidade a medida do ângulo de visão da pintura estará variando quando o observador estiver a 1m da parede?

Passo 1

O que o enunciado nos pede, é para encontrarmos qual é taxa de variação do ângulo de observação quando o observador se encontra a uma dada distância da parede. Para isso, podemos utilizar da mesma linha de raciocínio das questões anteriores parando na derivada de θ com relação a x.

Passo 2

Um esboço do que está sendo dito no enunciado pode ser representado pela seguinte figura:

Seja x   a distância do observador até a parede. Vemos da figura que β = α + θ , vemos também que:

c o t g   β = x 70   e   c o t g   α = x 30

β = c o t g - 1 x 70   e   α = c o t g - 1 x 30

Substituindo esses valores de α   e   β na relação θ = β - α ,   obtemos :

θ =   c o t g - 1 x 70 - c o t g - 1 x 30

Sabendo que a distância x em questão, é dada por x = v . t , temos:

θ =   c o t g - 1 v . t 70 - c o t g - 1 v . t 30

Passo 3

Passo 4

Derivando com relação a t a função que descreve o comportamento do ângulo em função da distância, teremos:

d θ d t = - v 70 1 + v . t 70 2 . v 70 + v 30 1 + v . t 30 2 . v 30

= - 70 v 70 2 + v t 2 . v 70 + 30 v 30 2 + v t 2 . v 30

Assim, quando x = 1 m , temos que:

d θ d t = 1,45

Logo, a velocidade na qual a medida do ângulo de visão varia é de 1,45   r a d s .

Resposta

1,45   r a d s

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