Enunciado

35-36. É dada uma função f x definida por partes num intervalo. Nestes exercícios: a) use o Teorema 5.5.5 para encontrar a integral de f x no intervalo; b) encontre uma antiderivada de f x no intervalo; c) use as partes a) e b) para verificar a validade da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

35. f x = x ,       0 ≤ x ≤ 1 x 2 ,       1 < x ≤ 2

Passo 1

a) Então pessoal, o Teorema 5.5.5 nos diz o seguinte:

“Se f for integrável em um intervalo fechado contendo os três pontos a ,   b   e   c , então:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Não importando como os pontos estejam ordenados.”

Aplicando essa ideia no nosso problema, teremos:

∫ 0 2 f x d x = ∫ 0 1 x d x + ∫ 1 2 x 2 d x

Então essa é a nossa integral, galera!

Passo 2

Para ambas integrais devemos utilizar a seguinte regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Então para a primeira integral teremos:

∫ 0 1 x d x = x 2 2 1 0

E para a segunda integral teremos:

∫ 1 2 x 2 d x = x 3 3 2 1

Logo:

∫ 0 2 f x d x = x 2 2 1 0 + x 3 3 2 1 = 1 2 + 8 3 - 1 3

∴ ∫ 0 2 f x d x = 17 6

Passo 3

b) De acordo com o que calculamos no passo anterior, temos que as antiderivadas serão:

F x = x 2 2 ,       x ≤ 1 x 3 3 + 1 6 ,       x > 1

E esse é o nosso resultado, galera! 😉

Resposta

a) ∫ 0 2 f x d x = 17 6

b) F x = x 2 2 ,       x ≤ 1 x 3 3 + 1 6 ,       x > 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No Exercício ∫ 3 . s e c 43 xd x , use fórmulas de redução para calcular as integrais.
No Exercício ∫ c o s s e c 5xd x , use fórmulas de redução para calcular as integrais
No Exercício ∫ 16 x 3( l nx ) 2 d x , use fórmulas de redução para calcular as integrais
Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.28. ∫ 0 π 1 2 ( cos ⁡ x + cos ⁡ x ) d x
Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.34. ∫ - 1 0 π x - 1 d x