Enunciado

31-34. Use o Teorema 5.5.5 para calcular as integrais dadas.

32. b) ∫ 0 π 2 1 2 - cos ⁡ x d x

Passo 1

Então pessoal, antes de resolvermos a integral que nos foi dada vamos relembrar do que se trata o Teorema 5.5.5, tudo bem? Show! Ele nos diz o seguinte:

“Se f for integrável em um intervalo fechado contendo os três pontos a ,   b   e   c , então:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Não importando como os pontos estejam ordenados.”

Tendo isso em vista, agora vamos tentar aplicar essa ideia no nosso problema!

Passo 2

A integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ 0 π 2 1 2 - cos ⁡ x d x

Esse módulo é um problema pra gente, então o que devemos fazer é retirá-lo assumindo algumas restrições, saca só:

f x = 1 2 - cos ⁡ x = 1 2 - cos ⁡ x ,     π 3 ≤ x ≤ π 2 cos ⁡ x - 1 2 ,       0 ≤ x ≤ π 3

Feito isso, agora sim podemos aplicar o Teorema 5.5.5 que enunciamos no passo 1. Utilizando-o, teremos:

∫ 0 π 2 1 2 - cos ⁡ x d x = ∫ 0 π 3 cos ⁡ x - 1 2 d x + ∫ π 3 π 2 1 2 - cos ⁡ x d x

Show!

Passo 3

Como as integrais são extremamente parecidas, o raciocínio para resolver uma é igual ao raciocínio para resolver a outra. Qual função que quando derivada resulta em cos ⁡ x ? De acordo com o que estudamos, essa função é s e n   x , certo? Logo, para a primeira integral, teremos:

∫ 0 π 3 cos ⁡ x - 1 2 d x = s e n   x - 1 2 x π 3 0

E para a segunda integral, teremos:

∫ π 3 π 2 1 2 - cos ⁡ x d x = 1 2 x - s e n   x π 2 π 3

Portanto:

∫ 0 π 2 1 2 - cos ⁡ x d x = s e n   x - 1 2 x π 3 0 + 1 2 x - s e n   x π 2 π 3

Por fim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, isto é, aplicando os limites de integração:

s e n   x - 1 2 x π 3 0 + 1 2 x - s e n   x π 2 π 3 = 3 - π 12 - 1

∴ ∫ 0 π 2 1 2 - cos ⁡ x d x = 3 - π 12 - 1

E está aí nosso resultado! 😉

Resposta

∫ 0 π 2 1 2 - cos ⁡ x d x = 3 - π 12 - 1

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