Enunciado

Um helicóptero está voando em direção ao norte a 100   k m / h e a uma altitude constante de 0,5   k m . Abaixo, um carro viaja para o oeste em uma estrada a 75   k m / h . No momento em que o helicóptero cruza a estrada, o carro está 2   k m a leste dele.

(a) Com que velocidade estará mudando a distância entre o carro e o helicóptero no momento em que o helicóptero cruza a estrada?

(b) Naquele momento, a distância entre o carro e o helicóptero estará crescendo ou decrescendo?

Passo 1

Primeiro vamos visualizar o que está acontecendo (inclusive lembrar pra onde fica leste e oeste hehe):

Mas pera pera pera, você tá vendo que o helicóptero está se afastando do carro no sentindo Norte-Sul, enquanto o carro se aproxima do helicóptero no sentido Leste-Oeste? Ou seja, nesse caso o movimento relativo desses dois caras é um pouco mais complicado pois está em duas direções.

Passo 2

(a)

Por facilitar, vamos colocar isso tudo no R 3 . Colocando o sentido Norte-Sul no eixo z e o sentido Leste -Oeste no eixo x . O helicóptero é a bolinha preta e o carro a bolinha vermelha:

Num instante qualquer o helicóptero está em 0 ,   0.5 ,   z ,   pois está a uma altura constante de 0,5   k m . E além disso está andando na direção negativa de z com aquela velocidade e não anda das direções de x e y . Então, para o helicóptero:

d x h d t =   d y h d t = 0

d z h d t = -   100   k m / h

E num instante qualquer o carro está na posição   ( x , 0,0 ) e andando no sentido negativo de x com aquela velocidade e não anda nas direções y e z . Logo, para o carro:

d y c d t =   d z c d t = 0

d x c d t =   - 75   k m / h

Passo 3

Já que estamos interessados na direção entre esses dois caras, temos que a direção entre dois pontos no R 3 é:

D 2 = Δ x 2 + Δ y 2 + Δ z 2

Aplicando nos pontos 0 ,   0.5 ,   z h       e       ( x c , 0,0 )

D 2 = x c - 0 2 + 0 - 0,5 2 + 0 - z h 2

D 2 = x c 2 + 0,5 2 + z h 2

Derivando essa expressão pra relacionarmos as taxas de variação:

d ( D 2 ) d t   = d d t x c 2 + 0,5 2 + z h 2

d ( D 2 ) d t = d x c 2 d t + d 0,5 2 d t + d z h 2 d t

Usando que derivada de constante é zero e a Regra da Cadeia:

2 D     d D d t = 2 x c d x c d t + 2 z h   d z h d t

D     d D d t = x c d x c d t + z h d z h d t               e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 4

Se quisermos usar nossa equação ainda vamos precisar descobrir quanto valiam z h , x c   e D no instante desejado.

Como o momento que nos interessa é o momento em que o helicóptero cruza a estrada e a estrada está no eixo x , isso nos diz que:

z h = 0

E além disso o carro está 2   k m a leste do helicóptero, então:

  x c = 2

E como:

D 2 = x c 2 + 0,5 2 + z h 2

D 2 = 2 2 + 0,5 2 + 0 2 = 4 + 1 4

D 2 = 17 4                 ⇒                   D = 17 2   k m

Passo 5

Substituindo tudo isso na equação (1):

D     d D d t = x c d x c d t + z h d z h d t    

17 2     d D d t = 2 - 75 + 0 - 100          

17 2     d D d t = - 150

d D d t =     - 300 17 17   k m / h

(b)

Como d D d t < 0 , a distância está decrescendo.

Resposta

(a)   - 300 17 17   k m / h

(b) decrescendo

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