Enunciado

Uma partícula move-se ao longo da curva 16 x 2   +   9 y 2   =   144 . Encontre todos os pontos ( x ,   y ) nos quais as taxas de variação de x e de y   em relação ao tempo são iguais. [Suponha que d x / d t e d y / d t nunca são nulas no mesmo ponto.]

Passo 1

Olha que maneiro, nessa questão quando ele fala “Encontre todos os pontos ( x ,   y ) nos quais as taxas de variação de x e de y   em relação ao tempo são iguais”, o enunciado já está nos dando uma das equações que vamos usar:

d x d t = d y d t                           e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 2

Agora partiu derivar a expressão da curva?

d d t   16 x 2   +   9 y 2 = d 144 d t

Masss derivada de constante é zero, lembra?

16 d ( x 2 ) d t + 9 d y 2 d t   = 0

Pela Regra da Cadeia:

16 ( 2 x ) d x d t + 9 ( 2 y ) d y d t   = 0

16 x d x d t + 9 y d y d t   = 0                                       e q u a ç ã o   ( 2 )

Passo 3

Relacionando as equações (1) e (2):

d x d t = d y d t                           e q u a ç ã o   ( 1 )

16 x d x d t + 9 y d y d t   = 0                                       e q u a ç ã o   ( 2 )

Pra isso vamos substituir (1) em (2)

16 x d y d t + 9 y d y d t   = 0      

Como d x / d t e d y / d t nunca são nulas no mesmo ponto, e elas são iguais, então elas nunca são nulas. Por isso posso dividir por d y / d t :

16 x + 9 y   = 0      

Então acontece o que o enunciado pede quando

x =   - 9 y 16

Passo 4

Substituindo x =   - 9 y 16

Em

16 x 2   +   9 y 2   =   144

Ficamos com:

16 - 9 y 16 2 +   9 y 2   =   144

81 y 16 2 +   9 y 2   =   144

225 y 2 16   =   144

Se tirarmos raiz quadrada dos dois lados:

225 y 2 16   = 144        

15 y 4 = ± 12  

5 y 4 = 4                               ⇒             y = ± 16 5  

E como

x =   - 9 y 16                               ⇒                   x =   ∓ 9 5

Resposta

- 9 5 , 16 5                                   e                                 9 5 ,   - 16 5

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