Enunciado

Um ponto P move-se ao longo de uma curva cuja equação é y = x . Suponha que x esteja crescendo a uma taxa de 4   u n i d a d e s   p o r   s e g u n d o quando x   =   3 .

(a) Com que rapidez estará variando a distância entre P e o ponto ( 2 ,   0 ) naquele instante?

(b) Com que rapidez estará variando o ângulo de inclinação do segmento de reta de P a ( 2 ,   0 ) naquele

Passo 1

(a)

Já que a pergunta é sobre a rapidez com que a distância entre os pontos está variando, precisamos achar alguma equação que descreva essa distância. Se chamarmos a distância entre P e o ponto ( 2,0 ) de D , pela fórmula de distância entre dois pontos, temos que:

D 2 = x - x p 2 + y   - y p 2

Além disso a gente sabe que o ponto P se move pela reta y   = x . Então:

  y p   = x p

Substituindo isso dentro da equação da distância entre os pontos:

D 2 = x - x p 2 + y   - x p 2

Passo 2

Agora precisamos derivar essa expressão em relação ao tempo pra aparecer o termo em que estamos interessados ( d D / d t   ), que diz respeito a rapidez com que a distância entre os pontos está variando.

d ( D 2 ) d t = d d t x - x p 2 + y   - x p 2

d ( D 2 ) d t = d x - x p 2 d t + d y   - x p 2 d t

No nosso caso x e y não vão estar variando, pois são as coordenadas do ponto   ( 2,0 ) . Então pela Regra da Cadeia:

d ( D 2 ) d D d D d t   = d x - x p 2 d x p d x p d t + d y   - x p 2 d x p d x p d t  

2 D d D d t   = - 2 x - x p d x p d t + - 1 2 x p 2 y   - x p d x p d t

2 D d D d t   = - 2 x - x p d x p d t - 1 x p y   - x p d x p d t

Acabamos de chegar numa equação que relaciona as taxas de variação de caras muito maneiros, agora só falta organizar melhor pra ela ficar menos feia hehe

2 D d D d t   = d x p d t   - 2 x + 2 x p - y x P + 1                                   e q u a ç ã o   1

Passo 3

Antes de jogar os dados na equação, vamos ver o que temos:

x crescendo a uma taxa de 4   u n i d a d e s   p o r   s e g u n d o ⇒         d x p d t =   4   u n i d a d e s / s .

Lembrando de atentar pro sinal positivo pois x   está CRESCENDO.

Ponto em que estamos interessados em calcular a distância até P : ( 2 ,   0 ) . Então x = 2 e y = 0

P em ( 3 ,   y p ) . Mas como   y p   = x p . Então x p = 3 e y p = 3

Massss ainda falta descobrir o valor de D naquele instante. Pra isso:

D 2 = x - x p 2 + y   - y p 2

D 2 = 2 - 3 2 + 0   - 3 2                         ⇒             D = 2

Passo 4

Substituindo isso tudo na equação (1):

2 D d D d t   = d x p d t   - 2 x + 2 x p - y x P + 1      

2 2 d D d t   = 4 - 2 2 + 2 3 - 0 3 + 1  

2 2 d D d t   = 4 - 4 + 6 + 1

Dividindo os dois lados por 4 :

d D d t   = - 4 + 6 + 1

d D d t = 3   u n i d a d e s / s

Passo 5

(b)

Temos que a tangente do ângulo de inclinação é dada por:

tan ⁡ θ = y - y p x - x p = y - x p x - x p  

Derivando essa expressão vamos ter:

tan ⁡ θ = y - x p x - x p                                 ⇒                     x - x p tan ⁡ θ = y - x p

d d t [ x - x p tan ⁡ θ ]   = d d t ( y - x p )

Pela regra da derivada do produto:

d x - x p d t tan ⁡ θ   + d tan ⁡ θ d t x - x p   = d ( y - x p ) d t

Agora pela Regra da Cadeia, lembrando que x   e y são constantes:

- d x p d t tan ⁡ θ     + sec ⁡ θ 2 d θ d t x - x p = - 1 2 x p d x p d t                         e q u a ç ã o   ( 2 )

Passo 6

Agora antes de substituirmos os dados na equação (2), precisamos achar quanto vale tan ⁡ θ e sec ⁡ θ no instante desejado. Pra isso:

tan ⁡ θ = y - y p x - x p = 0 - 3 2 - 3 = 3

Se tan ⁡ θ =     3 :

θ = 60 °                               ⇒                             sec ⁡ θ = 2

Substituindo todos os dados que temos na equação (2):

- d x p d t tan ⁡ θ     + sec ⁡ θ 2 d θ d t x - x p = - 1 2 x p d x p d t

- ( 4 ) 3   ⁡     + 2 2 d θ d t 2 - 3 = - 1 2 3 ( 4 )

Dividindo tudo por 4 :

- 3   ⁡     + d θ d t 2 - 3 = - 1 2 3

- 3   ⁡ -   d θ d t = - 1 2 3

d θ d t =   1 2 3 + 3

d θ d t = 7 3 6   ° / s

Resposta

(a)   3   u n i d a d e s / s

(b)   7 3 6   ° / s

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