Enunciado

Um satélite está em uma órbita elíptica em torno da Terra. A sua distância r (em milhas) do centro da Terra é dada por

r = 4995 1 + 0,12 cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo medido do ponto da órbita mais próximo da superfície da Terra (veja a figura abaixo).

(a) Encontre a altitude do satélite no perigeu (ponto mais próximo da superfície da Terra) e no apogeu (ponto mais distante da superfície da Terra) usando 3.960   m i l h a s como o raio da Terra.

(b) No instante em que θ for 120 ° , o ângulo θ está crescendo a uma taxa de 2,7 ° / m i n   . Encontre a altitude do satélite e a taxa segundo a qual a altitude estará variando naquele. Expresse a taxa em unidades de m i l h a s / m i n .

Passo 1

(a)

No Perigeu θ = 0 ° . Colocando na fórmula:

r p = 4995 1 + 0,12 cos ⁡ 0 °     = 4995 1 + 0,12 1 = 4995 1,12

r p = 4459,8   m i l h a s

A distância até a superfície da terra a distância até o centro menos o raio da terra concorda?

Então chamando a altitude no perigeu de h p e o raio da terra de R :

h p = r p -   R = 4459,8 - 3960

h p = 499,8   ≅ 500   m i l h a s

No Apogeu θ = 180 ° . Colocando na fórmula:

r a = 4995 1 + 0,12 cos ⁡ 180 °     = 4995 1 + 0,12 - 1 = 4995 0,88

r a = 5676,1   m i l h a s

E agora usando que h a é a altitude do satélite no apogeu:

h a = r a -   R = 5676,1 - 3960

h a = 1716,1   ≅ 1716   m i l h a s

Passo 2

Para θ = 120 ° . Colocando na fórmula:

r p = 4995 1 + 0,12 cos ⁡ 120 °     = 4995 1 + 0,12 - 1 2 = 4995 0,94

r p = 5313,8   m i l h a s

Para achar h 120 °

h 120 ° = r 120 ° -   R = 5313,8 - 3960

h 120 ° = 1353,8   ≅ 1354   m i l h a s

Passo 3

Para a segunda parte da letra (b) vamos derivar em relação ao tempo a expressão que o enunciado nos dá:

d r d t = d d t 4995 1 + 0,12 cos ⁡ θ  

d r d t = - d d t 1 + 0,12 cos ⁡ θ 4995 1 + 0,12 cos ⁡ θ 2    

Pela regra da cadeia:

d r d t = - d d θ 1 + 0,12 cos ⁡ θ d θ d t   4995 1 + 0,12 cos ⁡ θ 2

d r d t = 0,12 sin ⁡ θ   d θ d t   4995 1 + 0,12 cos ⁡ θ 2

O enunciado fala que θ = 120 ° , e que ângulo θ está crescendo a uma taxa de 2,7 ° / m i n , então:

sin ⁡ θ = 3 2

cos ⁡ θ =   - 1 2

d θ d t = 2,7 ° / m i n

Substituindo esses dados todos na expressão que a gente encontrou:

d r d t = 0,12 sin ⁡ θ   d θ d t   4995 1 + 0,12 cos ⁡ θ 2

d r d t = 0,12 3 2 ( 2,7 )   4995 1 + 0,12 - 1 2 2

d r d t = 0,12 3 2 2,7 4995 0,94 2

d r d t = 0,12 3 2 2,7   5974,9

d r d t = 2794,1   m i l h a s / m i n

Passo 4

Mas queremos a taxa com que a altitude está variando, então vamos derivar a seguinte expressão:

h 120 ° = r 120 ° -   R

d h 120 ° d t   = d d t ( r 120 ° -   R )

Então

d h 120 ° d t   = d r 120 ° d t =   2794,1   m i l h a s / m i n

Resposta

ℎ𝑝

(a)

h p ≅ 500   m i l h a s

h a   ≅ 1716   m i l h a s

(b)

h 120 ° ≅ 1354   m i l h a s

d h 120 ° d t   =   2794,1   m i l h a s / m i n

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