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37. Para as funções de uma variável, é impossível uma função continua ter dois pontos de máximo local e nenhum ponto de mínimo local. Para funções de duas variáveis, esse caso existe. Mostre que a função

f x , y = - x 2 - 1 2 - x 2 y - x - 1 2

Só tem dois pontos críticos, ambos de máximo local. Em seguida, utilize um computador para desenhar o gráfico com uma escolha cuidadosa de domínio e de ponto de vista para ver como isso é possível.

Passo 1

A função que ele nos deu foi a seguinte:

f x , y = - x 2 - 1 2 - x 2 y - x - 1 2

Para acharmos os pontos críticos, vamos fazer f x = 0 e f y = 0 . Então, vamos lá!

Derivando em relação a x :

f x = - 2 × x 2 - 1 × 2 x - 2 × x 2 y - x - 1 × ( 2 x y - 1 )

Arrumando as coisas:

f x = - 2 + 6 x 2 y + x 2 + 4 y - 4 x 3 1 + y 2

Agora em relação a y :

f y = 0 - 2 × x 2 y - x - 1 × ( x 2 )

Assim,

f y = - 2 x 4 y + 2 x 3 + 2 x 2

Agora vamos igualar a 0 :

f x = - 2 + 6 x 2 y + x 2 + 4 y - 4 x 3 1 + y 2 = 0

Para o f y :

f y = - 2 x 4 y + 2 x 3 + 2 x 2 = 0

Passo 2

Então, temos o seguinte sistema:

- 2 + 6 x 2 y + x 2 + 4 y - 4 x 3 1 + y 2 = 0 - 2 x 4 y + 2 x 3 + 2 x 2 = 0

Resolvendo o sistema, temos:

x = 1   ,   y = 2

x = - 1 , y = 0

Portanto, os pontos críticos das funções são:

( 1,2 ) e ( - 1,0 )

Agora vamos aplicar o teste da segunda derivada para analisar os pontos críticos.

D a , b = f x x a , b f y y a , b - f x y a . b 2     ( i )

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem para achar para usar na equação ( i ) .

f x x x , y = ∂ ∂ x f x

Usando f x do Passo 1:

f x x x , y = ∂ ∂ x - 2 + 6 x 2 y + x 2 + 4 y - 4 x 3 1 + y 2

Logo,

f x x x , y = 0 + 12 y + 2 + 4 y - 3 × 4 x 2 1 + y 2

Isto é,

f x x x , y = 12 x y + 2 + 4 y - 12 x 2 - 12 x 2 y 2

Para o f y y :

f y y x , y = ∂ ∂ y f y

Usando f y do Passo 1:

f y y x , y = ∂ ∂ y - 2 x 4 y + 2 x 3 + 2 x 2

Logo,

f y y = - 2 x 4

Por fim, vamos ver como fica o f x y :

f x y x , y = ∂ ∂ y f x

Usando o que achamos no Passo 1:

f x y x , y = ∂ ∂ y - 2 + 6 x 2 y + x 2 + 4 y - 4 x 3 1 + y 2

Assim,

f x y x , y = 6 x 2 + 4 x - 4 x 3 × 2 y

Então,

f x y x , y = 6 x 2 + 4 x - 8 x 3 y

Passo 4

Para o ponto ( 1,2 ) :

D 1,2 = f x x 1,2 f y y 1,2 - f x y 1,2 2

Substituindo os valores:

f x x 1,2 = 12 × 1 × 2 + 2 + 4 × 2 - 12 × 1 2 - 12 × 1 2 × 2 2

Fazendo as contas:

f x x 1,2 = - 26

Para o f y y :

f y y 1,2 = - 2 × 1 4 = - 2

Por fim, para f x y :

f x y 1,2 = 6 × 1 2 + 4 × 1 - 8 × 1 3 × 2

Logo,

f x y 1,2 = - 6

Substituindo tudo em D ( 1,2 ) :

D 1,2 = - 26 × - 2 - - 6 2

Portanto,

D 1,2 = 16 > 0

Como D 1,2 > 0 e f x x 1,2 < 0 , temos um ponto de máximo local.

Passo 5

Para o ponto ( - 1,0 ) :

D ( - 1,0 ) = f x x ( - 1,0 ) f y y ( - 1,0 ) - f x y ( - 1,0 ) 2

Substituindo os valores:

f x x - 1,0 = ( 12 × - 1 × 0 ) + 2 + ( 4 × 0 ) - ( 12 × - 1 2 ) - 12 × - 1 2 × 0 2

Fazendo as contas:

f x x - 1,0 = - 10

Para o f y y :

f y y - 1,0 = - 2 × - 1 4 = - 2

Por fim, para f x y :

f x y - 1,0 = ( 6 × - 1 2 ) + ( 4 × - 1 ) - 8 × - 1 3 × 0

Logo,

f x y 1,2 = - 2

Substituindo tudo em D ( 1,2 ) :

D - 1,0 = - 10 × - 2 - - 2 2

Portanto,

D - 1,0 = 16 > 0

Como D ( - 1,0 ) > 0 e f x x - 1,0 < 0 , temos um ponto de máximo local.

Passo 6

Fazendo um gráfico, temos:

Como é possível verificar os dois pontos de máximo. 😉

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