Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 39
37. Para as funções de uma variável, é impossível uma função continua ter dois pontos de máximo local e nenhum ponto de mínimo local. Para funções de duas variáveis, esse caso existe. Mostre que a função
Só tem dois pontos críticos, ambos de máximo local. Em seguida, utilize um computador para desenhar o gráfico com uma escolha cuidadosa de domínio e de ponto de vista para ver como isso é possível.
Passo 1
A função que ele nos deu foi a seguinte:
Para acharmos os pontos críticos, vamos fazer e . Então, vamos lá!
Derivando em relação a :
Arrumando as coisas:
Agora em relação a :
Assim,
Agora vamos igualar a :
Para o :
Passo 2
Então, temos o seguinte sistema:
Resolvendo o sistema, temos:
,
Portanto, os pontos críticos das funções são:
e
Agora vamos aplicar o teste da segunda derivada para analisar os pontos críticos.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem para achar para usar na equação .
Usando do Passo 1:
Logo,
Isto é,
Para o :
Usando do Passo 1:
Logo,
Por fim, vamos ver como fica o :
Usando o que achamos no Passo 1:
Assim,
Então,
Passo 4
Para o ponto :
Substituindo os valores:
Fazendo as contas:
Para o :
Por fim, para :
Logo,
Substituindo tudo em :
Portanto,
Como e , temos um ponto de máximo local.
Passo 5
Para o ponto :
Substituindo os valores:
Fazendo as contas:
Para o :
Por fim, para :
Logo,
Substituindo tudo em :
Portanto,
Como e , temos um ponto de máximo local.
Passo 6
Fazendo um gráfico, temos:
Como é possível verificar os dois pontos de máximo. 😉
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)