37-48. Calcule a integral.

47. ∫ 1 2 d x 4 x - x 2

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

4 x - x 2 = - x 2 - 4 x

- x 2 - 4 x = - x 2 - 4 x + 4 - 4

4 x - x 2 = - x - 2 2 + 4

Substituindo na nossa integral:

∫ 1 2 d x 4 x - x 2 = ∫ 1 2 d x 4 - x - 2 2

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x - 2

Disso tiramos que:

d u = d x

Substituindo, teremos:

∫ 1 2 d x 4 - x - 2 2 = ∫ 1 2 d u 4 - u 2

E como vimos na seção 4, essa é uma integral tabelada e seu resultado é:

∫ 1 2 d u 4 - u 2 = a r c sin ⁡ u a 2 1

Como u = x - 2 e a = 2 , então:

a r c sin ⁡ u a 2 1 = a r c sin ⁡ x - 2 2 2 1 = π 6

∴ ∫ 1 2 d x 4 x - x 2 = π 6

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

∫ 1 2 d x 4 x - x 2 = π 6

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