Enunciado

Suponha que um tubo oco gire com uma velocidade angular constante de ω rad/s em torno de um eixo horizontal em um extremo do tubo, conforme a figura a seguir. Suponha que um

objeto deslize sem atrito dentro do tubo, enquanto o tubo estiver girando. Seja r a distância do objeto ao ponto pivô no instante t ≥ 0 e suponha que, quando t = 0 , o objeto esteja em

repouso e r = 0 . Pode-se mostrar que, se o tubo estiver na horizontal em t = 0 e girando conforme a figura, então

r = g 2 ω 2 sinh ⁡ ω t - sin ⁡ ω t

durante o período em que o objeto estiver no tubo. Suponha

que t esteja em segundos, r esteja em metros, g = 9,8   m / s 2 e ω   =   2   r a d / s .

(a) Faça o gráfico de r versus t para 0   ≤   t   ≤   1 .

(b) Supondo que o tubo tenha um comprimento de 1 m, aproximadamente quanto tempo o objeto levará para atingir o final do tubo?

(c) Use o resultado de (b) para aproximar d r d t , no momento em que o objeto atingir o fim do tubo.

Passo 1

Bom galera, usando um recurso computacional, temos que esse gráfico será:

Para encontrarmos o item (b) que é o tempo que o objeto levará para atingir o final do tubo, temos:

r = g 2 ω 2 × t         ∴           t = 0,816 s

Passo 2

Agora, para o item (c), começamos derivando a expressão:

d r d t = g × cosh ⁡ ( ω t ) - g × cos ⁡ ( ω t ) 2 w

d r d t = 6,65 m s

Prontinho!!

Resposta

(a)

(b)   t = 0,816 s

(c) d r d t = 6,65 m s

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