Enunciado

Suponha que, analogamente às funções trigonométricas, definamos cosh ⁡ t e sinh ⁡ t geometricamente usando a figura   6.9 . 3 b :

“Dado qualquer número real t , defina x = cosh ⁡ t e y = sinh ⁡ t

como os únicos valores de x e y tais que

(i) o ponto P ( x ,   y ) está no ramo direito da hipérbole unitária x 2 - y 2 = 1 ;

(ii) t e y têm o mesmo sinal (ou são ambos nulos);

(iii) a área da região delimitada pelo eixo x , o ramo direito da hipérbole unitária e o segmento de reta da srcem até P é igual a | t | / 2 .”

Discuta quais propriedades deveriam ser verificadas inicialmente para garantir que isso seja uma definição legítima.

Passo 1

Inicialmente, é importante definir cosh ⁡ t e sinh ⁡ t em um intervalo de - ∞ < t < + ∞ , dessa forma já teremos a ideia de que essas funções representaram a hipérbole unitária, também confirmada pela função trigonométrica:

cosh 2 ⁡ t - sinh 2 ⁡ t = 1

Se x = cosh ⁡ t > 0 , teremos já uma garantia de que o ponto P x ,   y está no ramo direito da hipérbole unitária x 2 - y 2 = 1 . A nossa outra garantia é que se t ≥ 0 , então o parâmetro t pode ser interpretado como o dobro da área sombreada na Figura 6.9 . 3 b .

Certo??

Resposta

As propriedades (i) e (iii).

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