Enunciado

37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos da função f .

47- f x = x   e x 2

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função:

f ´ x = 2   x   e x ( e x + x   e x )

Agora, vamos derivar novamente:

f ´ ´ x = 2   e x + 2 x   e x ( e x + e x + x   e x )

Pronto, já temos as duas derivadas. Fácil né ?!

Passo 2

Vamos determinar os pontos críticos igualando f ´ ( x ) a zero. Assim, temos:

2   x   e x ( e x + x   e x ) = 0

x   e x   = 0

x = 0

E

e x 1 + x = 0

1 + x = 0

x = - 1

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

-Para x = 0 :

f ´ ´ 0 = 2   e 0 ( e 0 + e 0 )

f ´ ´ 0 = 2 × 2 = 4

Afinal... O que isso quer dizer ???

Para x = 0 , a função tem um mínimo relativo para o seguinte valor de y:

f 4 = 4   e 4 2

f 4 = 16   e 8

- Para x = - 1 :

f ´ ´ - 1 = 2 e - 2 e ( 1 e + 1 e - 1 e )

f ´ ´ - 1 = 0

Agora, nós esbarramos em uma problema . Como f ´ ´ - 1 = 0 , teremos que recorrer ao teste da primeira derivada, que consiste em analisar o comportamento da função, para isso vamos testar um ponto a direita e outro à esquerda do - 1 . Sacou ?!

- Para x = - 2 :

f ´ - 2 = 0,07

-Para x = - 0,5 :

f ´ - 0,5 = - 0,18

Como a função é > 0 à esquerda do - 1 e x = - 1 , temos um máximo relativo, para o seguinte valor de y :

f - 1 = - 1   e - 1 2 = 1 e 2

Fim!

Resposta

( 0 , 16   e 8 ) mínimo relativo.

- 1 ,   1 e 2 máximo relativo.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache os números críticos da função dada. f x = x 3 - 3 x 2 + 4 1 / 3
Ache os números críticos da função dada. f x = x x 2 - 9
Ache os números críticos da função dada. f z = cos 2 ⁡ 4 z
Ache os números críticos da função dada. h x = x - 3 x + 7
Ache os números críticos da função dada. f x = x 4 + 11 x 3 + 34 x 2 + 15 x - 2