Enunciado

37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos da função f .

49- f x = 3 x - x 2

Passo 1

Galera,vamos começar lembrando um detalhe importante sobre módulos:

a = a   s e   a ≥ 0

e

a =   - a   s e   a < 0

Lembrou ???

Isso quer dizer que nós temos:

f x 1 = 3 x - x 2    

e

f x 2 = - 3 x + x 2

Agora, vamos derivar f x 1 :

f ´ x 1 = 3 - 2 x

Agora, vamos derivar novamente:

f ´ ´ x 1 = - 2

Pronto, já temos as duas derivadas. Fácil né ?!

Passo 2

Vamos determinar os pontos críticos igualando f ´ x 1 à zero. Assim, temos:

3 - 2 x = 0

2 x = 3

x = 3 2

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

-Para x = 3 2 :

Como a nossa função é constante, para qualquer valor de x o nosso y será - 2 . Isso quer dizer que:

f ´ ´ 3 2 1 = - 2

Afinal... O que isso quer dizer ???

Para x = 3 2 , a função tem um máximo relativo para o seguinte valor de y :

f 3 2 1 = 3 × 3 2 - 3 2 2

f 3 2 1 = 9 2 - 9 4

f 3 2 1 = 9 4

Galerisss, trago péssimas notícias.... Esse não é o fim da questão, ainda temos isso aqui:

f x 2 = - 3 x + x 2

Maxxx pode ficar tranqs que a gente resolve isso aqui rapidinho

Passo 4

Genteee, olha só,nós estamos trabalhando com módulo certo ???

Se nós fizéssemos o processo anterior para f x 2 nós iríamos achar um x = 3 2 , mas essa função não está definida para esse x . É só nós olharmos o gráfico de f x = 3 x - x 2 :

Para x = 3 2 , temos y = 9 4 . Logo a função que está definida para esse ponto é: 3 x - x 2 . Sacou ?!

Dessa forma, a única maneira de descobrirmos quais as contribuições de f x 2 para os extremos da função é analisando o gráfico de f x = 3 x - x 2 :

Pelo gráfico, nós percebemos que os pontos 0,0   e   ( 3,0 ) são pontos de mínimo.

Pronto, agora acabou !!!

Resposta

( 3 2 , 9 4 ) máximo relativo.

0,0   e   ( 3,0 ) mínimo relativo.

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