Enunciado

39. Ache por integração, a área do triângulo tendo vértices (5,1), (1,3), e (-1,-2).

Passo 1

Vamos colocar esses pontos num gráfico para ver o triângulo e a região delimitada por eles. Depois usamos soma de Riemann pra calcular a área.

Passo 2

Colocando no gráfico, teremos:

Com os vértices A=(1,3), B=(5,1), e C=(-1,-2). ;)

Passo 3

Precisamos escrever equações que ligam um vértica ao outro, então vamos chamar de L 1 do vértice A pro B, L 2 do vértice B pro C e L 3 do vértice C pro A.

L 1 : y = - x - 1 2 + 3

L 2 : y = x - 1 2 - 2

L 3 : y = 5 2 x - 1 + 3

Passo 4

Agora precisamos dividir a área em duas, uma com x   de -1 até 1 e outra com x de 1 até 5, assim ó...

Então ficaremos com uma área A 1   com L 3 acima e L 2 abaixo até x = 1 e outra área A 2   com L 1 acima e L 2 abaixo de x = 1 até x = 5 . As duas juntas dão a área do triângulo

Passo 5

Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

 lim | | ∆ | | → 0   ⁡ ∑ i = 1 n f ( w i ) ∆ i x = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i x , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i x . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A 1 =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ 5 2 w i - 1 + 3 - w i - 1 2 - 2 ] ∆ i x =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 2 w i + 2 ) ∆ i x

A 2 =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ - w i - 1 2 + 3 - w i - 1 2 - 2 ] ∆ i x =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( - w i + 5 ) ∆ i x

Show? =]

Passo 6

Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esse limite pode ser calculado como uma integral de f x d x , assim ó:

A 1 =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 2 w i + 2 ) ∆ i x = ∫ - 1 1 ( 2 x + 2 )   d x

A 2 =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( - w i + 5 ) ∆ i x = ∫ 1 5 - x + 5 d x

Resolvendo...

A 1 = ∫ - 1 1 ( 2 x + 2 )   d x = x 2 + 2 x - 1 1 = 1 2 + 2 1 - - 1 2 + 2 - 1 = 4

A 2 = ∫ 1 5 - x + 5 d x = - x 2 2 + 5 x 1 5 = - 5 2 2 + 5 . 5 - - 1 2 2 + 5 . 1 = 8

A = A 1 + A 2 = 4 + 8 = 12

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D

Resposta

A = 12

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Determine a área entre a curva y = l n x , y = l n 2 x de x = 1 até x = 5 .
Determine a área das região em forma de hélice compreendida entre a curva x - y 1 3 = 0 e x - y 1 5 = 0
Determine a área das regiões compreendidas entre x = t g 2 ( y ) e x = - t g 2 ( y ) ,- π 4 ≤ y ≤ π 4
Determine a área das regiões compreendidas entre y = sec 2 ⁡ x e y = t g 2 ( x ) , ,- π 4 ≤ x ≤ π 4