Enunciado

18. Uma célula bacteriana tem a forma esférica. Se o raio da célula estiver crescendo à taxa de 0,01 micrômetros por dia quando ela tiver 1,5   μ m , qual será a taxa de crescimento do volume da célula naquele instante?

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Identificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Imagine a situação e faça um diagrama:

Variáveis:

V- Volume

R -raio

t -tempo

Passo 2

Como queremos a taxa de aumento da Volume do tumor, e o tumor tem a forma esférica, usamos a famosa equação que relaciona a volume com o raio.

V = 4 3 π R 3

Passo 3

Agora que temos a equação que relaciona nossas variáveis. Vamos derivar implicitamente em relação a t, ou seja, vamos derivar em ambos os lados da igualdade em relação a t (pois estamos falando de taxa de variação).

V = 4 3 π R 3 ⇒ d V d t = 4 3 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ R 2 ⋅ d R d t ⇒ d V d t = 4 ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ d R d t

d V d t = 4 π R 2 ⋅ d R d t

Passo 4

Como a taxa de crescimento do raio da célula, quando ela mede 1,5   μ m , é de 0,01 micrômetros por dia. Temos que d R d t = 0,0 1   μ m / d i a e R = 1 , 5   μ m . Assim:

d V d t = 4 π R 2 ⋅ d R d t ⇒ d V d t = 4 ⋅ π ⋅ 1,5 2 ⋅ 0,01 ⇒ d V d t = 0,09 μ m 3 / d i a

Resposta

0,09 μ m 3 / d i a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Movimento de uma partícula Uma partícula se desloca ao longo da curva y=x 3 / 2 no primeiro quadrante, de modo que sua distância em relação à origem aumenta a uma taxa de 11 unidades por segundo. Dete
Movimento ao longo dos eixos cartesianos Os pontos A e B se deslocam respectivamente ao longo dos eixos x e y , de modo que a distância r (em metros) ao longo da perpendicular, da origem à reta A B ,
Drenagem de um tanque Água escoa do tanque cônico mostrado na figura a seguir a uma vazão de 5 p é s 3 / m i n é . a. Qual é a relação entre as variáveis h e r na figura? b. A que taxa o nível da água
Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante t = 0 . Após t horas, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por: T t = 30 - 5 t + 4 t + 1 ,0 ≤ t ≤ 5 Qual a velocidade de redução de sua
Seja r a raiz cúbica de um número real x . Encontre a taxa de variação de r em relação a x quando x for igual a 8 .