Enunciado

39. Uma excursão escolar que pode acomodar até 250 estudantes irá custar 15 dólares por estudante, se o número de estudantes que fizer a vigame não ultrapassar 150; contudo, o custo por estudante será reduzido de 0,05 dólares para cada estudante que exceder 150, até que o custo atinja 10 dólares por pessoa. (a) Se x estudantes fizerem a viagem, expresse o custo bruto como uma função de x. (b) Como x é o número de estudantes, x é um inteiro não negativo. Para que tenhamos as exigências de continuidade para aplicar o cálculo, x dever ser um número real não negativo. Com essa hipótese, mostre que a função da parte (a) é contínua até 150, mas não é derivável nesse número.

Passo 1

Primeira coisa que devemos fazer antes de iniciar está questão é encontrar a função que modela o problema de acordo com as informações contidas no enunciado, que exatamente o que ele nos pede na letra (a). Uma outra coisa também que devemos perceber logo de cara é que essa função se trata de uma função definida por partes, pois ela muda seu comportamento a partir de uma certa quantidade x de estudantes.

Passo 2

Letra (a)

Assim reunindo as informações contidas no enunciado, podemos afirmar que a função que expressa o custo bruto será dada por

Passo 3

Letra (b)

Para determinar se f(x) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

f(x0) tem que existir;

  1. tem que existir;
  2. .

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f(x) é continua em x0.

Passo 4

Ao substituir x0 = 150 na função, percebemos que a expressão onde vamos substituir esse valor é a primeira função, pois a mesma está definida para x0 = 150. Com isso temos que

f ( 150 ) = 2250.

Passo 5

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , .

Assim, temos que :

Com isso podemos afimar que existe e é igual a 2250.

Passo 6

Verificando a ultima condição , temos:

Com isso, como os 3 itens necessários foram atendidos; pode-se afirmar que f (x) é continua em x0 = 150.

Passo 7

Uma função f definida num intervalo aberto que contém x1 será derivável em x1 se e somente se ambas existirem e forem iguais.

A derivada à esquerda de f em x1, denotada por f’ - (x1), será definda por

A derivada à direita de f em x1, denotada por f’ + (x1), será definda por

Passo 8

A derivada à esquerda de f(X) em x1 = 150 será:

Passo 9

A derivada à direita de f(X) em x1 = 150 será :

Passo 10

Como obtemos que não existe. Assim, f(X) não é derivável em x1 = 150. Com isso, percebe-se que uma função ser contínua em X1 , não necessariamente implica que ela é derivável em X1.

Resposta

Demonstração.

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Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
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55. Suponha que g x = f x . Prove que se f ' ( x ) e g ' x existem, então g ' x = | f ' x |