Enunciado

39-44. Obtenha um gráfico da função e identifique a localização de todos os pontos de extremos relativos e de inflexão. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

44. tan ⁡ x ,   0 ≤ x < π 2

Passo 1

Então pessoal, esse tipo de questão é bastante característico do conteúdo de máximos e mínimos, então vamos resolver a questão passo a passo e com cuidado para arrasarmos nas próximas questões com facilidade, ok? Show, bora lá!

A função que nos foi dada é a seguinte:

f x = tan ⁡ x

Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Passo 2

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = sec 2 ⁡ x 2 tan ⁡ x

Aqui temos que notar algumas coisas importantíssimas, pessoal! A primeira delas é que o nosso numerador nunca será menor do que zero por conta do quadrado que acompanha a função. A segunda coisa é que o nosso denominador nunca será menor do que zero também, por conta da raíz quadrada que aparece na tangente! Sendo assim, temos que a nossa função SEMPRE será crescente, ou seja:

f ' x = 1 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x > 0

´

Então podemos ter pontos críticos, mas esses pontos críticos não serão máximos ou mínimos relativos. Sendo assim, podemos dizer que a função não possue extremos relativos! Espero que a análise tenha feito sentido, galera! Let’s go continuar!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada utilizando regra do quociente, teremos:

f ' ' x = 2 sec ⁡ x sec ⁡ x tan ⁡ x . 2 tan ⁡ x - sec 2 ⁡ x . sec 2 ⁡ x tan ⁡ x 2 tan ⁡ x 2

Simplificando, teremos:

f ' ' x = 4 sec 2 ⁡ x tan 3 2 ⁡ x - sec 4 ⁡ x tan ⁡ x 2 tan ⁡ x 2 = 4 sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x - sec 4 ⁡ x tan ⁡ x 2 tan ⁡ x 2

f ' ' x = sec 2 ⁡ x 4 tan 2 ⁡ x - sec 2 ⁡ x 4 tan 3 2 ⁡ x = 3 4 sec 2 ⁡ x 3 tan 2 ⁡ x - 1 tan 3 2 ⁡ x

Ufa! Foi complicado, mas conseguimos simplificar nossa expressão! Igualando a zero, teremos:

3 4 sec 2 ⁡ x 3 tan 2 ⁡ x - 1 tan 3 2 ⁡ x = 0

sec 2 ⁡ x = 0 3 tan ⁡ x 2 - 1 = 0

Essas são as condições necessárias para este produto dar zero, galera! Como a secante não pode ser zero, então só ficamos com a segunda igualdade, ok? Então bora resolvê-la!

Passo 4

Para a segunda igualdade tiramos que:

3 tan ⁡ x 2 - 1 = 0

3 tan ⁡ x = 1

tan ⁡ x = 3 3

Como a questão nos indica um intervalo de 0 ≤ x < π 2 , teremos que para essa igualdade os valores de x serão esses aqui ó:

x = π 6

E esse é o nosso único ponto de inflexão, pessoal!

Esboçando o gráfico da função para conferirmos nosso trabalho, teremos algo assim:

E está aí nossa resolução, guys!

Resposta

Pontos de extremos relativos: Não existem;

Ponto de inflexão: x = π 6 ;

Gráfico da função:

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