Enunciado

Use um sistema algébrico computacional para fazer o gráfico de f e encontre f ' e f ' ' . Utilize os gráficos dessas derivadas para estimas os intervalos de crescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão de f .

f x = 2 x - 1 x 4 + x + 1 4

Passo 1

Vamos derivar a função duas vezes usando um programa, obtendo f ' e f ' ' . Depois iremos olhar a primeira derivada pra estimar os intervalos de crescimento e decrescimento e os valores extremos. Finalmente, vamos estimar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão usando o gráfico de f ' ' .

Passo 2

Utilizando um programa, temos as derivadas de f :

f ' = 4 x 3 + 6 x + 9 4 x 4 + x + 1 5 / 4

f ' ' = - 32 x 6 - 96 x 4 - 152 x 3 + 48 x 2 - 6 x - 21 16 x 4 + x + 1 9 / 4

Os gráficos de f , f ' e f ' ' são então construídos:

Passo 3

Agora vamos usar o gráfico de f ' para estimar os intervalo de crescimento e decrescimento da função. A função f é crescente quando f ' é positivo e decrescente quando f ' é negativo. Olhando o gráfico, temos f ' positivo, e consequentemente função crescente, no intervalo:

( - 0.94 ,   ∞ )

E temos f ' negativo e função decrescente no intervalo:

( - ∞ ,   - 0.94 )

Os máximos e mínimos locais ocorrem quando f ' = 0 dentro do intervalo. A derivada f ' só zera uma vez, em x = - 0.94 , onde temos um mínimo local (que também é o mínimo global da função):

f - 0,94 = - 3       ( m í n i m o   l o c a l   e   a b s o l u t o )

Como não há outros pontos onde a derivada zera, não temos máximos locais.

Passo 4

Pelo gráfico de f ' ' , estimamos os intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Temos concavidade para cima quando f ' ' é positivo, e concavidade para baixo quando f ' ' é negativo. O intervalo onde temos f ' ' positivo e concavidade para cima é:

( - 1.25 ,   - 0.44 )

E temos f ' ' negativo e concavidade pra baixo nos intervalos:

- ∞ ,   - 1.25   e   ( - 0.44 ,   ∞ )

Os pontos de inflexão ocorrem quando a função muda de concavidade, ou seja, f ' ' muda de sinal. Isso ocorre quando f ' ' = 0 . Os pontos de inflexão são então:

- 1.25 ,   - 2.88   e   ( - 0.44 ,   - 2.14 )

Resposta

Intervalos de crescimento: ( - 0.94 ,   ∞ )

Intervalos de decrescimento: ( - ∞ ,   - 0.94 )

Máximos locais: f - 0,94 = - 3       ( m í n i m o   l o c a l   e   a b s o l u t o )

Mínimos locais: Nenhum

Intervalos de concavidade para cima: ( - 1.25 ,   - 0.44 )

Intervalos de concavidade para baixo: - ∞ ,   - 1.25   e   ( - 0.44 ,   ∞ )

Pontos de inflexão: - 1.25 ,   - 2.88   e   ( - 0.44 ,   - 2.14 )

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