Enunciado

Trace ou copie o gráfico de f . (Suponha os eixos da mesma escala). Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente usar o gráfico da função f   dada para esboçar o gráfico da derivada f ' , de acordo com o método do Exemplo 1 .

O gráfico dado foi esse aqui:

O método do exemplo 1 consiste em traçarmos retas tangentes em alguns pontos da nossa curva e analisar a inclinação dessas retas. A partir disso, saberemos se a derivada da função em cada ponto é positiva, negativa ou nula e conseguiremos traçar uma curva para f ' .

Então, é isso que nós vamos fazer. Vamos lá!

Passo 2

Já sabemos que é possível estimar o valor de qualquer derivada de x , traçando a reta tangente a ( x , f x ) e estimando a sua inclinação. Então, vamos traçar algumas retas no nosso gráfico:

Observe que os pontos A ,   B ,   C ,   D ,   E   e F têm retas tangentes horizontais, o que significa que elas possuem inclinação nula e, portanto, a derivada f ' nesses pontos é zero. Como ela é zero, ela vai ser uma reta horizontal no eixo x :

As bolinhas vazias representam os pontos onde a função f ' não está definida. Isso acontece por conta das “quinas” que aparecem na função f ( x ) .

Lembre-se que, em geral, se o gráfico de uma função f tiver uma “quina” ou uma “dobra”, então o gráfico de f não terá tangente nesse ponto, e f não será diferenciável ali (a derivada não existe no ponto).

Passo 3

Beleza, mas o gráfico ainda não está completo. Observe que temos alguns pontos onde a nossa função é decrescente e as retas tangente têm inclinação negativa e pontos onde a função é crescente e as retas passam a ter inclinação positiva. Observe também que independente do sinal, essas inclinações são constantes:

Nos locais onde a inclinação é positiva, a nossa derivada é positiva e estará acima do eixo x . Nos locais onde a inclinação é nagativa, a nossa derivada é negativa e estará abaixo do eixo x . Mas em ambos os casos, como elas são constantes em cada ponto, elas serão representadas por linhas horizontais.

Assim, temos o gráfico de f ' :

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Gráfico de f '

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