Enunciado

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Obtenha os gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Estime os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concaviade e pontos de inflexão, e use o cálculo para achar essas quantidades exatamente.

f x = x - 2 sen ⁡ x ,           - 2 π ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Vamos começar fazendo o gráfico dessa função no intervalo que foi dado. Não precisa ser nada muito preciso, só queremos fazer algumas estimativas!

Vamos começar procurando os intervalos de crescimento e decrescimento.

Olhando para o gráfico, e considerando que cada quadrado no eixo x vale uma unidade, podemos estimar que a função é crescente nos seguintes intervalos:

- 5,2 < x < - 1,0

1,0 < x < 5,2

E é decrescente em:

- 2 π < x < - 5,2

5,2 < x < 2 π

Passo 2

Agora vamos procurar valores extremos. A função tem máximos em:

x = - 1,0         ⇒           f - 1,0 ≅ 0,7

x = 5,2         ⇒         f 5,2 ≅ 7,0

E tem mínimos em:

x = - 5,2         ⇒         f - 5,2 = - 7,0

x = 1,0           ⇒         f 1,0 = - 0,7

Passo 3

As concavidades podem ser um pouco mais difíceis de enxergar, então vamos marcar no desenho:

Os trechos em azul representam convavidades para baixo:

- 3.1 < x < 0             e           3.1 < x < 2 π

E os trechos em verde representam concavidades para cima:

- 2 π < x < - 3.1           e           0 < x < 3.1

E os pontos de inflexão estão justamente nos limites desses intervalos:

x = 0         ⇒         y = 0

x = ± 3,1         ⇒         y = ± 3,1

Passo 4

Beleza, agora vamos procurar esses mesmos elementos de forma exata, usando cálculo.

Para encontrar os intervalos de crescimento, precisamos da derivada primeira da função:

f x = x - 2 sen ⁡ x

f ' x = 1 - 2 cos ⁡ x

Enquanto essa derivada for positiva, a função é crescente. Enquanto ela for negativa, a função é decrescente. Vamos encontrar cada um desses intervalos, começando pela parte crescente da função:

1 - 2 cos ⁡ x > 0

cos ⁡ x < 1 2

E já que estamos limitados em - 2 π ≤ x ≤ 2 π

π 3 < x < 5 π 3           o u         - 5 π 3 < x < - π 3

E a parte decrescente é o intervalo restante:

- 2 π < x < - 5 π 3           o u           - π 3 < x < π 3           o u         5 π 3 < x < 2 π

Passo 5

Para encontrar os valores extremos, usamos o teste da primeira derivada:

f ' x = 0

No nosso caso:

f ' x = 1 - 2 cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x = 1 2

E essa função é satisfeita por quatro pontos. Os pontos de máximo estão em:

f - π 3 = - π 3 + 3

f 5 π 3 = 5 π 3 - 3

E os pontos de mínimo estão em:

f - 5 π 3 = - 5 π 3 - 3

f π 3 = π 3 - 3

Se não tivéssemos o gráfico, como faríamos para saber quais desses pontos extremos são de mínimo e de máximo?

Teríamos que olhar para as concavidades, vamos fazer isso agora.

Passo 6

Para determinar as concavidades, precisamos da derivada segunda da função:

f ' ' x = d d x 1 - 2 cos ⁡ x

f ' ' x = 2 sen ⁡ x

Quando essa função é positiva, a curvatura é para cima, isso acontece em:

- 2 π < x < - π           e           0 < x < π

Nesse intervalo, todos os pontos extremos são de mínimo.

Quando essa função é negativa, a curvatura é para baixo, isso acontece em:

- π < x < 0           e           π < x < 2 π

Nesse intervalo, todos os pontos extremos são de máximo.

Os pontos de inflexão acontece quando a função passa de um intervalo positivo para um negativo, então os pontos de inflexão estão em:

0   ,   0   ; - π , - π   ; π   , π

Resposta

A função é crescente em π 3 < x < 5 π 3   o u   - 5 π 3 < x < - π 3   e decrescente em - 2 π < x < - 5 π 3     o u     - π 3 < x < π 3     o u   5 π 3 < x < 2 π . A função tem pontos de máximo em f - π 3 = - π 3 + 3 e f 5 π 3 = 5 π 3 - 3 , e pontos de mínimo em f - 5 π 3 = - 5 π 3 - 3 e f π 3 = π 3 - 3 . A concavidade é parra cima em - 2 π < x < - π           e           0 < x < π e para baixo em - π < x < 0           e           π < x < 2 π . Os pontos de inflexão estão em 0   ,   0   ; - π , - π   ; π   , π .

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