3.Calcule.

∫ sin ⁡ 2 x 5 + sin 2 ⁡ x d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos 5 + sin 2 ⁡ x de u :

5 + sin 2 ⁡ x = u

Passo 2

Derivaremos cada membro da equação abaixo: 5 + sin 2 ⁡ x   = u

2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x = d u   ( I )

Aqui se encontra o “pulo do gato” desta questão, pois para resolve-la deve-se relembrar a esqueção trigonométrica abaixo:

2 sin ⁡ x cos ⁡ x = sin ⁡ 2 x ( I I )

Substituindo a equação I I na equação ( I ) teremos:

sin ⁡ 2 x d x = d u

Agora vamos mexer um pouco na integral para facilitar na hora da substituição!

∫ sin ⁡ 2 x 5 + sin 2 ⁡ x d x = ∫ 5 + sin 2 ⁡ x sin ⁡ 2 x d x

Passo 3

Já temos como escrever tudo em função de u , então faremos a substituição e ficará assim:

∫ sin ⁡ 2 x 5 + sin 2 ⁡ x d x = ∫ u   d u

∫ sin ⁡ 2 x 5 + sin 2 ⁡ x d x = ∫ u 1 2 d u

∫ sin ⁡ 2 x 5 + sin 2 ⁡ x d x =   2 3 u 3 + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o   u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos calcular a integral!!!

∫ sin ⁡ 2 x 5 + sin 2 ⁡ x d x =   2 3 5 + sin 2 ⁡ x 3 + C

Resposta

∫ sin ⁡ 2 x 5 + sin 2 ⁡ x d x =   2 3 5 + sin 2 ⁡ x 3 + C

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