Enunciado

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

x = t 2 1 + t 2

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar x ' e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão:

t n ' = n t n - 1

c ' = 0

f t g t ' = f ' t g t - f t g ' t g t 2

Vamos então aplicar:

x ' = t 2 1 + t 2 ' = f ' t g t - f t g ' t g t 2 = t 2 ' 1 + t 2 - t 2 1 + t 2 ' 1 + t 2 2 = 2 t 2 - 1 1 + t 2 - t 2 0 + 2 t 2 - 1 1 + t 2 2 = 2 t 1 + t 2 - t 2 2 t 1 + t 2 2 = 2 t + 2 t 3 - 2 t 3 1 + t 2 2 = 2 t 1 + t 2 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de x ' , o denominador vai ser sempre positivo, vamos então analisar o numerador igualando-o a zero:

2 t = 0

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para 2 t temos:

A expressão assume valores negativos quando 2 t < 0 e assume valores positivos quando 2 t > 0 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar a imagem que achamos no passo anterior:

Temos que x ' > 0 em:

0 , + ∞

E em x ' < 0 :

- ∞ , 0

Assim:

x é estritamente crescente em 0 , + ∞

x é estritamente decrescente em - ∞ , 0

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de x para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim t → + ∞ ⁡ t 2 1 + t 2 = 1

lim t → - ∞ ⁡ t 2 1 + t 2 = 1

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

x é estritamente crescente em 0 , + ∞

x é estritamente decrescente em - ∞ , 0

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Verifique que. d d x x + 1 arctg ⁡ x - x = arctg ⁡ x
(Função arco-secante. A função f x = sec ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π 2 é inversível e sua inversa é a função g x = arcsec ⁡ x , x ≥ 1 . Calcule arcsec ' ⁡ x .
Verifique que. d d x - 2 3 arctg ⁡ 2 3 - x 3 x - 2 = 1 x 5 x - 6 - x 2
Verifique que. d d x 27 x 2 + 6 x - 1 x - 3 arcsen ⁡ 1 - 3 x 6 x = 1 x 2 27 x 2 + 6 x - 1
Seja f x = x + e x e seja g a inversa de f . Calcule g ' 1 e g ' ' 1 .