Enunciado

2.Calcule:

int_0^((pi)/(3)) (sin x)/(c o s^2 x) d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando que de antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!!!!!

A mudança que faremos é chamar u de cos x :

u = cos x

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x . E como faremos isso??? Calma, aplicaremos a derivada dos dois lados, lembra né? Vamos lá:

(u)^' = (cos x) '

d u = - sin x d x

Passo 2

Agora que temos tudo em função de u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores: u = c o s x Elevaremos ao quadrado, pois olha la na integral da questão, aparece c o s^2 x e não c o s x , muita atenção a esse passo!

u^2 = c o s^2 x

d u = - sin x d x

Fazendo a substituição marota, teremos isso aqui ó:

int (sin x)/(c o s^2 x) d x = int (- d u)/(u^2) = - int (d u)/(u^2)

Lembrando que a integral de funções polinomiais é da forma:

int u^n d u = (1)/(n + 1) u^(n + 1) + c

Calcularemos a primitiva, sabendo que para a integral da questão é n = - 2

- int (d u)/(u^2) = (1)/(u) + c

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral!!! ( u = c o s x ), temos:

int (sin x)/(c o s^2 x) d x = (1)/(c o s x) + c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função e faremos a integral definida e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

int_0^((pi)/(3)) (sin x)/(c o s^2 x) d x = ( (1)/(c o s (pi)/(3)) - (1)/(c o s 0) )

Lembrando que c o s (pi)/(3) = (1)/(2) e c o s 0 = 1

int_0^((pi)/(3)) (sin x)/(c o s^2 x) d x = ( (1)/((1)/(2)) - (1)/(1) )

Fazendo esses cálculos simples, após essa integral exaustiva, ufaaaa!, temos a nossa resposta:

int_0^((pi)/(3)) (sin x)/(c o s^2 x) d x = 1

Resposta

int_0^((pi)/(3)) (sin x)/(c o s^2 x) d x = 1

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