2.Calcule:

∫ 0 π 3 sin ⁡ x c o s 2 x d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando que de antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!!!!!

A mudança que faremos é chamar u de cos ⁡ x :

u = cos ⁡ x

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x .   E como faremos isso??? Calma, aplicaremos a derivada dos dois lados, lembra né? Vamos lá:

u ' = cos ⁡ x '

d u = - sin ⁡ x d x

Passo 2

Agora que temos tudo em função de   u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores: u = c o s   x Elevaremos ao quadrado, pois olha la na integral da questão, aparece c o s 2 x e não c o s   x , muita atenção a esse passo!

u 2 = c o s 2 x

d u = - sin ⁡ x d x

Fazendo a substituição marota, teremos isso aqui ó:

∫ sin ⁡ x c o s 2 x d x   =   ∫ - d u u 2 = - ∫ d u u 2

Lembrando que a integral de funções polinomiais é da forma:

∫ u n d u = 1 n + 1 u n + 1 + c

Calcularemos a primitiva, sabendo que para a integral da questão é n = - 2

- ∫ d u u 2 = 1 u + c

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o   u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral!!! ( u = c o s x ), temos:

∫ sin ⁡ x c o s 2 x d x = 1 c o s x + c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função e faremos a integral definida e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

∫ 0 π 3 sin ⁡ x c o s 2 x d x = ( 1 c o s π 3 - 1 c o s 0 )

Lembrando que c o s π 3 = 1 2 e c o s   0   = 1

∫ 0 π 3 sin ⁡ x c o s 2 x d x = ( 1 1 2 - 1 1 )

Fazendo esses cálculos simples, após essa integral exaustiva, ufaaaa!, temos a nossa resposta:

∫ 0 π 3 sin ⁡ x c o s 2 x d x = 1

Resposta

∫ 0 π 3 sin ⁡ x c o s 2 x d x = 1

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