Calcule a derivada.

y = (x^2 + 1) / raiz(x + 1)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f ' x = g ' x h x - g x h ' x h x 2

Onde:

g x = x 2 + 1

e

h x = x + 1

Assim temos então que:

x 2 + 1 x + 1 ' = g ' x h x - g x h ' x h x 2 = x 2 + 1 ' x + 1 - x 2 + 1 x + 1 ' x + 1 2

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante e do polinômio, além da regra da cadeia:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Primeiro vamos calcular g ' x :

g ' x = x 2 + 1 ' = 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x

Agora para h ' x :

h ' x = x + 1 ' = x + 1 1 2 ' = 1 2 x + 1 1 2 - 1 x + 1 ' = 1 2 x + 1 - 1 2 x 1 - 1 + 0 = 1 2 x + 1 x 0 = 1 2 x + 1 1 = 1 2 x + 1

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = x 2 + 1 x + 1 ' = x 2 + 1 ' x + 1 - x 2 + 1 x + 1 ' x + 1 2 = 2 x x + 1 - x 2 + 1 1 2 x + 1 x + 1 = 2 x x + 1 + - x 2 - 1 2 x + 1 x + 1 = 4 x x + 1 x + 1 - x 2 - 1 2 x + 1 x + 1 = 4 x x + 1 x + 1 - x 2 - 1 2 x + 1 ⋅ 1 x + 1 = 4 x x + 1 - x 2 - 1 2 x + 1 x + 1 = 4 x 2 + 4 x - x 2 - 1 2 x + 1 x + 1 = 3 x 2 + 4 x - 1 2 x + 1 x + 1

Resposta

y ' = 3 x 2 + 4 x - 1 2 x + 1 x + 1

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