Enunciado

3.Em cada parte, esboce uma figura análoga à figura 5.6.10 para a região especificada. [Considere y = f ( x ) a fronteira superior da região. Se   x   * for único, identifique f ( ) e   x   * no esboço. Caso contrário, identifique f (   x   * ) no esboço e determine todos os valores de   x   * que satisfazem a Equação (8).]

a) A região da parte (a) do Exercício 1 .

b) A região da parte (b) do Exercício 1 .

c) A região da parte (c) do Exercício 1 .

Passo 1

Vou começar mostrando essa famigerada equação 8, que ele diz. É na verdade o Teorema do Valor Médio.

∫ a b f x d x = f (   x   * ) ( b - a )

Basicamente, o que esse teorema diz é que existe uma função constante que tem área igual o valor da integral, é o mesmo conceito que você verá em Força Média!!

Vamos para a letra a), lembrando que queremos descobrir o   x   * .

∫ 0 2 ( 2 - x ) d x = f (   x   * ) ( 2 - 0 )

Vamos calcular essa integral.

∫ 0 2 ( 2 - x ) d x

∫ 0 2 ( 2 - x ) d x = 2 x - x 2 2 2 0 = 4 - 4 2 - 0 = 2

Retomando a expressão do teorema médio.

2 = f (   x   * ) ( 2 )

Então:

f   x   * = 2 2 = 1

Já calculamos f   x   * = 1 , agora precisamos saber qual é esse valor de   x   * .

Se f   x   * = 1 , então:

2 -   x   * = 1

  x   * = 1

Para desenharmos o gráfico como na figura 5.6.10, temos que desenhar o gráfico da função y = 2 - x e um retângulo de altura f   x   * = 1 e de intervalo entre 0 e 2 .

Passo 2

Vamos para a letra b), lembrando que queremos descobrir o   x   * .

∫ - 1 1 ( 2 ) d x = f (   x   * ) ( 2 - ( - 1 )

Vamos calcular essa integral.

∫ - 1 1 ( 2 ) d x

∫ - 1 1 ( 2 ) d x = 2 x 1 - 1 = 2 - - 2 = 4

Retomando a expressão do teorema médio.

4 = f (   x   * ) ( 2 )

Então:

f   x   * = 4 2 = 2

Já calculamos f   x   * = 2 , agora precisamos saber qual é esse valor de   x   * .

Só que f   x   * = 2 é verdade para qualquer de f ( x ) entre - 1 e 1 .

Para desenharmos o gráfico como na figura 5.6.10, temos que desenhar o gráfico da função y = 2 e um retângulo de altura f   x   * = 2 e de intervalo entre - 1 e 1 .

Só que se você perceber, vamos desenhar dois gráficos iguais, então vou apenas desenhar uma vez.

Passo 3

Vamos para a letra b), lembrando que queremos descobrir o   x   * .

∫ 1 3 x + 1 d x = f (   x   * ) ( 3 - 1 )

Vamos calcular essa integral.

∫ 1 3 x + 1 d x

∫ 1 3 x + 1 d x = x 2 2 + x 3 1 = 9 2 + 3 - 1 2 + 1 = 15 2 - 3 2 = 12 2 = 6

Retomando a expressão do teorema médio.

6 = f (   x   * ) ( 2 )

Então:

f   x   * = 6 2 = 3

Já calculamos f   x   * = 3 , agora precisamos saber qual é esse valor de   x   * .

Se f   x   * = 3 , então:

  x   * + 1 = 3

  x   * = 2

Para desenharmos o gráfico como na figura 5.6.10, temos que desenhar o gráfico da função y = x + 1 e um retângulo de altura f   x   * = 3 e de intervalo entre 1 e 3 .

O ponto em vermelho é o valor médio.

Resposta

a) f   x   * = 1 x   * = 1

b)   f   x   * = 2 - 1 ≤ x   * ≤ 1

c)   f   x   * = 3 x   * = 2

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