Enunciado

Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas.

y = 2 x + 1 x - 2

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos a seguinte curva:

y = 2 x + 1 x - 2

E o enunciado pede pra a gente encontrar as suas as assíntotas horizontais e verticais e depois confirmar que o cálculo está certo esboçando o gráfico da função!

Para acharmos as assíntotas horizontais, vamos analisar os limites para x tendendo a e - ∞

Já as assíntotas verticais geralmente estão relacionadas a um ponto onde a nossa função não está definida.

Bora colocar a mão na massa então!

Passo 2

Começando pelas assíntotas horizontais, vamos analisar os limites para e - ∞ .

L = lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 x - 2

Concorda comigo que 2 vezes o infinito é muuuuito maior que 1 , né? Ou seja: 2 * ∞ ≫ 1

E que o infinito é muuuuito maior que - 2 , certo? Ou seja:

∞ ≫ - 2

Em outras palavras podemos desprezar o " + 1 " e o " - 2 " na função dentro do limite de tal forma que podemos reescrever o nosso limite assim:

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 x - 2 = l i m x → ∞ 2 x x ∴

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 x - 2 =   l i m x → ∞ 2 ∴

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 x - 2 = 2

Da mesma forma temos:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x + 1 x - 2 = - 2

Então isso nos diz que temos uma assíntota horizontal em 2 .

Portanto, y = 2 é uma assíntota horizontal!

Passo 3

Lá em cima falamos que assíntotas verticais estão relacionadas a um ponto onde a nossa função não está definida, vamos observar a nossa função:

y = 2 x + 1 x - 2

Concorda comigo que à medida que nos aproximamos de 2 o nosso denominador tende a 0 e o que acontece quando dividimos um número por outro beeeem pequeninho?!

Isso mesmo, temos um resultado beeeem grande, que pode ser positivo ou negativo! Então teremos uma assíntota vertical em x = 2 , de modo que:

lim x → 2 + ⁡ 2 x + 1 x - 2 = ∞

lim x → 2 - ⁡ 2 x + 1 x - 2 = - ∞

Passo 4

Fazendo um gráfico, temos:

Pelo gráfico, podemos confirmar que as assíntotas são realmente aquelas!

Resposta

Assíntota horizontal:

y = 2

Assíntota vertical:

x = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas horizontais. y=1-x 2 x 2+1
Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas verticais. y=x 2+4 x-3
Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas horizontais. y=x 2+9 9 x 2+1
Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas horizontais. f x = x + 4 x+4
Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas verticais. f ( x )=x 2-x-2 x 2- 2 x+1