Enunciado

Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas.

y = 1 + x 4 x 2 - x 4

Passo 1

Fala aí, tropinha!

Nesse problema queremos determinar as assíntotas verticais e horizontais da curva

y = 1 + x 4 x 2 - x 4

E no fim, esboçar o gráfico da curva e das assíntotas.

Parece complicado?

Para acharmos as assíntotas horizontais, vamos analisar os limites para x tendendo a e - ∞ . Só existe uma assíntota horizontal se esses limites tenderem a um valor numérico.

Já as assíntotas verticais geralmente estão relacionadas a um ponto onde a nossa função não está definida. Novamente nesse ponto vamos calcular o limite da função e verificar se ela tende a ± ∞ , se sim, é uma assíntota vertical!

Bora colocar a mão na massa então!

Passo 2

Começando pelas assíntotas horizontais, vamos analisar os limites para e - ∞ .

lim x → ∞   ⁡ 1 + x 4 x 2 - x 4

Nesse caso vamos aplicar um método de solução que consiste em dividir o numerador e o denominador pelo termo de maior grau do denominador.

Nesse caso, o termo de maior grau no denominador é x 4 , ou seja

lim x → ∞   ⁡ 1 + x 4 x 2 - x 4 = lim x → ∞   ⁡ 1 x 4 + x 4 x 4 x 2 x 4 - x 4 x 4

Simplificando...

lim x → ∞   ⁡ 1 + x 4 x 2 - x 4 = lim x → ∞   ⁡ 1 x 4 + 1 1 x 2 - 1

Perceba que quando fazemos x tendendo a , os termos 1 x 4 e 1 x 2 tenderão a 0 já que estamos dividindo um número muito pequeno por um número extremamente grande...

Dessa forma, chegamos no seguinte resultado do limite

lim x → ∞   ⁡ 1 + x 4 x 2 - x 4 = lim x → ∞   ⁡ 1 x 4 + 1 1 x 2 - 1 = 0 + 1 0 - 1

lim x → ∞   ⁡ 1 + x 4 x 2 - x 4 = - 1

Da mesma forma teremos:

lim x → - ∞   ⁡ 1 + x 4 x 2 - x 4 = - 1

Portanto, y = - 1   é uma assíntota horizontal.

Show de bola?

Passo 3

Agora vamos analisar as assíntotas verticais, isto é, quando nossa curva vai pro infinito! Lá em cima falamos que assíntotas verticais estão relacionadas a um ponto onde a nossa função não está definida, vamos observar a nossa função:

y = 1 + x 4 x 2 - x 4

Sabemos que y → ∞ quando o denominador é zero, isto é:

x 2 - x 4 = 0

Colocando o x 2 em evidência, temos:

x 2 1 - x 2 = 0

Então:

x = 0

Para a equação 1 - x 2 = 0 :

1 - x 2 = 0 → x = ± 1

Dessa forma, temos três assíntotas verticais:

x = 0

x = 1

x = - 1

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Fazendo o gráfico com o auxilio de uma ferramenta gráfica, temos que

Pelo gráfico, podemos confirmar que as assíntotas são realmente aquelas.

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

Assíntota horizontal:

y = - 1

Assíntota vertical:

x = 0

x = 1

x = - 1

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Determine o limite da funçãoQUOTE _x0001_
Determine o limite de cada função b) quando QUOTE _x0001_
Determine o limite de cada função a) quando QUOTE _x0001_
Determine o limite QUOTE _x0001_