Enunciado

Prove:

underset(h -> 0)(lim) (f ( h ))/(h) = 0 ⟺ underset(h -> 0)(lim) (f ( h ))/(|h|) = 0

Passo 1

Perceba que, quando colocamos o módulo em h , a única coisa que pode mudar na expressão é o sinal, positivo ou negativo, pois |h| = +- h . Então, só podem existir dois casos:

(f ( h ))/(h) = (f ( h ))/(|h|) o u (f ( h ))/(h) = - (f ( h ))/(|h|)

Assim, no primeiro caso, temos:

underset(h -> 0)(lim) (f ( h ))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (f ( h ))/(|h|)

Logo, é imediato que:

underset(h -> 0)(lim) (f ( h ))/(h) = 0 ⟺ underset(h -> 0)(lim) (f ( h ))/(|h|) = 0

pois os limites devem ser iguais.

Passo 2

Para tratar o segundo caso de forma mais simples, vamos dizer que:

(f (h))/(h) = A

(f ( h ))/(| h |) = B

(Lembre-se de que aqui, A e B não são constantes, mas sim funções de h !)

Então, estamos no caso em que:

A = - B

E queremos provar que:

underset(h -> 0)(lim) A = 0 ⟺ underset(h -> 0)(lim) B = 0

Suponha, por contradição, que underset(h -> 0)(lim) A = 0 , mas underset(h -> 0)(lim) B != 0 :

A = - B

underset(h -> 0)(lim) A = underset(h -> 0)(lim) (- B)

0 = - underset(h -> 0)(lim) B

underset(h -> 0)(lim) B = 0

Achamos então uma contradição, pois havíamos suposto que underset(h -> 0)(lim) B != 0 .

Sendo assim, provamos a implicação => :

underset(h -> 0)(lim) A = 0 => underset(h -> 0)(lim) B = 0

Passo 3

De modo muito análogo, provamos a implicação lArr . Suponha, por contradição, que underset(h -> 0)(lim) B = 0 , mas underset(h -> 0)(lim) A != 0 :

A = - B

A + B = 0

underset(h -> 0)(lim) (A + B) = 0

underset(h -> 0)(lim) A + underset(h -> 0)(lim) B = 0

underset(h -> 0)(lim) A + 0 = 0

underset(h -> 0)(lim) A = 0

Achamos então uma contradição, pois havíamos suposto que underset(h -> 0)(lim) A != 0 .

Sendo assim, provamos que:

underset(h -> 0)(lim) A = 0 lArr underset(h -> 0)(lim) B = 0

Logo, provamos as duas implicações:

underset(h -> 0)(lim) A = 0 ⟺ underset(h -> 0)(lim) B = 0

Ou seja,

underset(h -> 0)(lim) (f ( h ))/(h) = 0 ⟺ underset(h -> 0)(lim) (f ( h ))/(|h|) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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