Prove:

lim h → 0 ⁡ f ( h ) h = 0 ⟺ lim h → 0 ⁡ f ( h ) h = 0

Passo 1

Perceba que, quando colocamos o módulo em h , a única coisa que pode mudar na expressão é o sinal, positivo ou negativo, pois h = ± h . Então, só podem existir dois casos:

f ( h ) h = f ( h ) h           o u           f ( h ) h = - f ( h ) h

Assim, no primeiro caso, temos:

lim h → 0 ⁡ f ( h ) h = lim h → 0 ⁡ f ( h ) h

Logo, é imediato que:

lim h → 0 ⁡ f ( h ) h = 0 ⟺ lim h → 0 ⁡ f ( h ) h = 0

pois os limites devem ser iguais.

Passo 2

Para tratar o segundo caso de forma mais simples, vamos dizer que:

f h h = A

f ( h ) | h | = B

(Lembre-se de que aqui, A e B não são constantes, mas sim funções de h !)

Então, estamos no caso em que:

A = - B

E queremos provar que:

lim h → 0 ⁡ A = 0 ⟺ lim h → 0 ⁡ B = 0

Suponha, por contradição, que lim h → 0 ⁡ A = 0 , mas lim h → 0 ⁡ B ≠ 0 :

A = - B

lim h → 0 ⁡ A = lim h → 0 ⁡ - B

0 = - lim h → 0 ⁡ B

lim h → 0 ⁡ B = 0

Achamos então uma contradição, pois havíamos suposto que lim h → 0 ⁡ B ≠ 0 .

Sendo assim, provamos a implicação :

lim h → 0 ⁡ A = 0 ⇒ lim h → 0 ⁡ B = 0

Passo 3

De modo muito análogo, provamos a implicação . Suponha, por contradição, que lim h → 0 ⁡ B = 0 , mas lim h → 0 ⁡ A ≠ 0 :

A = - B

A + B = 0

lim h → 0 ⁡ A + B = 0

lim h → 0 ⁡ A + lim h → 0 ⁡ B = 0

lim h → 0 ⁡ A + 0 = 0

lim h → 0 ⁡ A = 0

Achamos então uma contradição, pois havíamos suposto que lim h → 0 ⁡ A ≠ 0 .

Sendo assim, provamos que:

lim h → 0 ⁡ A = 0 ⇐ lim h → 0 ⁡ B = 0

Logo, provamos as duas implicações:

lim h → 0 ⁡ A = 0 ⟺ lim h → 0 ⁡ B = 0

Ou seja,

lim h → 0 ⁡ f ( h ) h = 0 ⟺ lim h → 0 ⁡ f ( h ) h = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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